Съдържание

• Стъпки
• Съвети

Ако сте математик или графичен програмист, вероятно ще трябва да намерите ъгъла между два дадени вектора. В тази статия wikiHow ви показва как да направите точно това.

Стъпки

Част 1 от 2: Намерете ъгъла между два вектора

1. 

   Дефиниция на вектор. Запишете цялата информация за двата вектора, които имате. Да предположим, че имате само посочените параметри на техните координати на размерите (наричани още компоненти). Ако вече знаете дължината (величината) на вектор, можете да пропуснете някои от стъпките по-долу.
   • Пример: Двуизмерен вектор = (2,2) и двуизмерен вектор = (0,3). Те също могат да бъдат записани като = 2i + 2j и = 0i + 3j = 3j.
   • Въпреки че в примера в тази статия се използват двумерни вектори, следващите инструкции могат да се отнасят за вектори с произволен брой измерения.

2. 

   
   
   Запишете формулата на косинуса. За да намерим ъгъла θ между два вектора, започваме с формулата за намиране на косинуса за този ъгъл. Можете да научите за тази формула по-долу или просто да я запишете така:
   • cosθ = (•) / (|||| ||||)
   • |||| означава "дължина на вектора".
   • • е скаларното произведение на двата вектора - това ще бъде обяснено по-долу.

3. 

   
   
   Изчислете дължината на всеки вектор. Представете си, че правоъгълен триъгълник се състои от компонентите x, y на вектора и самия вектор. Векторът образува хипотенузата на триъгълника, така че за да намерим дължината му, използваме питагоровата теорема. Всъщност тази формула може лесно да бъде разширена до вектор с произволен брой измерения.
   • || u || = u₁ + u₂. Ако вектор има повече от два елемента, просто продължете да добавяте + u₃ + u₄ +...
   • Следователно, за двуизмерен вектор, || u || = √ (u₁ + u₂).
   • В този пример |||| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. |||| = √(0 + 3) = √(9) = 3.

4. 

   
   
   Изчислете скаларното произведение на два вектора. Може би сте научили метода на векторно умножение, известен също като скаларен това. За да изчислите скаларния продукт спрямо техния състав, умножете съставките във всяка посока заедно, след което добавете целия резултат.
   • За графичната програма, моля, вижте Съвети, преди да прочетете допълнително.
   • По математика • = u₁v₁ + u₂v₂, където, u = (u₁, u₂). Ако векторът има повече от два елемента, просто добавете + u₃v₃ + u₄v₄...
   • В този пример • = u₁v₁ + u₂v₂ = (2)(0) + (2)(3) = 0 + 6 = 6. Това е скаларното произведение на вектора и вектора.

5. 

   Поставете получените резултати във формулата. Не забравяйте, че cosθ = (•) / (|||| || ||). Сега знаем както скаларното произведение, така и дължината на всеки вектор. Въведете ги във формулата, за да изчислите косинуса на ъгъла.
   • В нашия пример, cosθ = 6 / (2√2 * 3) = 1 / √2 = √2 / 2.

6. 

   Намерете ъгъла въз основа на неговия косинус. Можете да използвате функцията arccos или cos в калкулатор, за да намерите θ от известна стойност на cos. С някои резултати може да намерите ъгъла въз основа на единичната окръжност.
   • В примера, cosθ = √2 / 2. Въведете „arccos (√2 ​​/ 2)“ във вашия калкулатор, за да намерите ъгъла. Или можете да намерите ъгъл θ на единичната окръжност, при положение cosθ = √2 / 2. Това е вярно за θ = /₄ или 45º.
   • Комбинирайки всичко, крайната формула е: ъгъл θ = аркосинус ((•) / (|||| || ||))
   реклама

Част 2 от 2: Определяне на ъглова формула

1. 

   Разберете целта на формулата. Тази формула не е получена от съществуващите правила. Вместо това се формира като дефиниция на скаларното произведение и ъгъла между двата вектора. Въпреки това не беше произволно решение. Връщайки се към основната геометрия, можем да разберем защо тази формула предоставя интуитивни и полезни определения.
   • Примерите по-долу използват двумерни вектори, защото са най-лесни за разбиране и най-прости. Триизмерните или повече вектори имат свойства, дефинирани от почти подобни общи формули.

2. 

   Прегледайте теоремата на Косинус. Да разгледаме обикновен триъгълник с ъгъл θ между страните a и b, срещуположната страна c. Теоремата на косинусите гласи, че c = a + b -2abcos(θ). Този резултат се извлича съвсем просто от основната геометрия.

3. 

   Свържете два вектора, образувайки триъгълник. Начертайте двойка двумерни вектори върху хартия, вектори и вектори, като θ е ъгълът между тях. Начертайте трети вектор между тези два, за да създадете триъгълник. С други думи, нарисувайте вектор такъв, че + =. Вектор = -.

4. 

   Напишете теоремата на Косинус за този триъгълник. Заместете дължината на страницата на нашия "векторен триъгълник" в теоремата на Косинус:
   • || (а - б) || = || a || + || b || - 2 || a || || b ||cos(θ)

5. 

   Препишете със скаларен продукт. Не забравяйте, скаларен продукт е изображението на единия вектор върху другия. Скаларното произведение на вектор сам по себе си не изисква проекция, тъй като тук няма разлика в посоката. Това означава • = || a ||. Използвайки това, ние пренаписваме уравнението:
   • (-) • (-) = • + • - 2 || a || || b ||cos(θ)

6. 

   Успешно пренаписах същата формула. Разгънете лявата страна на формулата, след което опростете, за да получите формулата, използвана за намиране на ъгли.
   • • - • - • + • = • + • - 2 || a || || b ||cos(θ)
   • - • - • = -2 || a || || b ||cos(θ)
   • -2 (•) = -2 || a || || b ||cos(θ)
   • • = || a || || b ||cos(θ)
   реклама

Съвети

• За да промените стойностите и да разрешите проблема бързо, използвайте тази формула за всяка двойка двумерни вектори: cosθ = (u₁ • v₁ + u₂ • v₂) / (√ (u₁ • u₂) • √ (v₁ • v₂)).
• Ако работите със софтуер за компютърна графика, най-вероятно ще трябва да се притеснявате само за размерите на вектора, без да се притеснявате за тяхната дължина. Използвайте следните стъпки, за да съкратите уравнение и да ускорите програмата си:
  • Нормализирайте всеки вектор, така че да са равни на 1. За да направите това, разделете всеки от компонентите на вектора на дължината му.
  • Вземете нормализираното произведение на скалара вместо оригиналния вектор.
  • Тъй като дължината е 1, можем да изключим елементите за дължина от уравнението. И накрая, полученото уравнение на ъгъла е arccos (•).
• Въз основа на косинусовата формула можем бързо да определим дали ъгълът е остър или тъп. Започнете с cosθ = (•) / (|||| ||||):
  • Лявата и дясната страна на уравнението трябва да имат един и същ знак (положителен или отрицателен).
  • Тъй като дължината винаги е положителна, cosθ трябва да има същия знак като скаларното произведение.
  • Следователно, ако продуктът е положителен, cosθ също е положителен. Намираме се в първия квадрант на единичната окръжност с θ <π / 2 или 90º. Ъгълът за намиране е острият ъгъл.
  • Ако скаларният продукт е отрицателен, cosθ е отрицателен. Намираме се във втория квадрант на единичния кръг, с π / 2 <θ ≤ π или 90º <θ ≤ 180º. Това е ъгълът на затвора.