Съдържание

• Стъпки
• Част 1 от 3: Изчисляване на моментната скорост
• Част 2 от 3: Графична оценка на моментната скорост
• Част 3 от 3: Примери
• Съвети

Скоростта е скоростта, с която обектът се движи в дадена посока. За общи цели намирането на скоростта на обект (v) е проста задача: трябва да разделите изместването (ите) за определено време (и) на това време (t), тоест използвайте формулата v = s / T. По този начин обаче се получава средна скорост на тялото. Използвайки някои изчисления, можете да намерите скоростта на тялото във всяка точка по пътя. Тази скорост се нарича мигновена скорост и се изчислява по формулата v = (ds) / (dt), тоест тя е производна на формулата за изчисляване на средната скорост на тялото.

Стъпки

Част 1 от 3: Изчисляване на моментната скорост

1. 1 Започнете с уравнението. За да се изчисли моментната скорост, е необходимо да се знае уравнението, описващо движението на тялото (неговото положение в определен момент от времето), тоест такова уравнение, от едната страна на което е s (движение на тялото), а от другата страна има термини с променливата t (време). Например:
   

   s = -1,5t + 10t + 4

   
   
   • В това уравнение:

     Преместване = s... Движението е пътят, изминат от обекта. Например, ако тялото се е преместило 10 м напред и 7 м назад, тогава общото движение на тялото е 10 - 7 = 3м (и при 10 + 7 = 17 м).

     Време = t... Обикновено се измерва в секунди.

2. 2 Изчислете производната на уравнението. За да намерите моменталната скорост на тяло, чиито премествания са описани от горното уравнение, трябва да изчислите производната на това уравнение. Дериват е уравнение, което изчислява наклона на графика във всяка точка (по всяко време). За да намерите производната, разграничете функцията, както следва: ако y = a * x, тогава производната = a * n * x... Това правило важи за всеки член на полинома.
   • С други думи, производната на всеки член с променлива t е равна на произведението на фактора (пред променливата) и мощността на променливата, умножена по променливата до степента, равна на първоначалната мощност минус 1. Свободната термин (термин без променлива, тоест число) изчезва, защото се умножава по 0. В нашия пример:
     

     s = -1,5t + 10t + 4
     (2) -1,5t + (1) 10t + (0) 4t
     -3t + 10t
     -3t + 10

     
     
3. 3 Заменете „s“ с „ds / dt“, за да покажете, че новото уравнение е производно на първоначалното уравнение (т.е. s е производно на t). Производната е наклонът на графиката в определена точка (в определен момент от време). Например, за да намерите наклона на линията s = -1,5t + 10t + 4 при t = 5, просто включете 5 в уравнението на производната.
   • В нашия пример уравнението на производната трябва да изглежда така:
     

     ds / dt = -3t + 10

4. 4 Заместете подходящата t стойност в уравнението на производната, за да намерите моментната скорост в определен момент от време. Например, ако искате да намерите моментната скорост при t = 5, просто включете 5 (вместо t) в производното уравнение ds / dt = -3 + 10. След това решете уравнението:
   

   ds / dt = -3t + 10
   ds / dt = -3 (5) + 10
   ds / dt = -15 + 10 = -5 м / сек

   
   
   • Обърнете внимание на мерната единица за моментна скорост: m / s. Тъй като ни е дадена стойността на изместване в метри, а времето е в секунди, а скоростта е равна на съотношението на изместване към времето, мерната единица m / s е правилна.

Част 2 от 3: Графична оценка на моментната скорост

1. 1 Начертайте движението на тялото. В предишната глава изчислихте моментната скорост, използвайки формула (производно уравнение, което ви позволява да намерите наклона на графика в определена точка). След като сте построили графика на движението на тялото, можете да намерите наклона му във всяка точка и следователно определяне на моментната скорост в определен момент от време.
   • Оста Y е движението, а оста X е времето. Координатите на точките (x, y) се получават чрез заместване на различни стойности на t в първоначалното уравнение на изместване и изчисляване на съответните стойности на s.
   • Графиката може да падне под оста X. Ако графиката на движението на тялото падне под оста X, това означава, че тялото се движи в обратна посока от точката на начало на движението. По правило графиката не се простира извън оста Y (отрицателни стойности на x)-ние не измерваме скоростта на обектите, движещи се назад във времето!
2. 2 Изберете точка P и точка Q близо до нея на графиката (кривата). За да намерим наклона на графиката в точка P, използваме концепцията за граница. Ограничение - състояние, при което стойността на секанта, изтеглена през 2 точки P и Q, лежаща на кривата, се стреми към нула.
   • Например, помислете за точките P (1,3) и Q (4.7) и изчислете моментната скорост в точка P.
3. 3 Намерете наклона на отсечката PQ. Наклонът на отсечката PQ е равен на отношението на разликата в стойностите на координатите "y" на точките P и Q към разликата в стойностите на координатите "x" на точките P и В. С други думи, H = (y_В - у_P) / (х_В - х_P), където H е наклонът на сегмента PQ. В нашия пример наклонът на сегмента PQ е:
   

   H = (y_В - у_P) / (х_В - х_P)
   H = (7 - 3) / (4 - 1)
   H = (4) / (3) = 1.33

4. 4 Повторете процеса няколко пъти, приближавайки Q точката до точката P. Колкото по -малко е разстоянието между две точки, толкова по -близо е наклонът на получените сегменти до наклона на графиката в точка P. В нашия пример ще извършим изчисления за точка Q с координати (2,4.8), (1.5,3.95 ) и (1.25,3.49) (координатите на точка P остават същите):
   

   Q = (2,4,8): H = (4,8 - 3) / (2 - 1)
   H = (1.8) / (1) = 1.8
   
   Q = (1.5,3.95): H = (3,95 - 3) / (1,5 - 1)
   H = (.95) / (. 5) = 1.9
   
   Q = (1.25,3.49): H = (3,49 - 3) / (1,25 - 1)
   H = (.49) / (. 25) = 1.96

5. 5 Колкото по -малко е разстоянието между точки P и Q, толкова по -близо е стойността на H до наклона на графиката в точка P. При изключително малко разстояние между точки P и Q, стойността на H ще бъде равна на наклона на графика в точка P Тъй като не можем да измерим или изчислим изключително малкото разстояние между две точки, графичният метод дава приблизителна стойност на наклона на графиката в точка P.
   • В нашия пример, когато приближаваме Q към P, получихме следните стойности на H: 1.8; 1.9 и 1.96. Тъй като тези числа са склонни към 2, можем да кажем, че наклонът на графиката в точка P е равен на 2.
   • Не забравяйте, че наклонът на графиката в дадена точка е равен на производната на функцията (по която е изградена тази графика) в тази точка. Графиката показва движението на тяло във времето и, както е отбелязано в предишния раздел, моментната скорост на тялото е равна на производната на уравнението за движението на това тяло. По този начин можем да заявим, че при t = 2 моментната скорост е равна на 2 mps (това е приблизителна оценка).

Част 3 от 3: Примери

1. 1 Изчислете моментната скорост при t = 4, ако движението на тялото се описва с уравнението s = 5t - 3t + 2t + 9. Този пример е подобен на задачата от първия раздел с единствената разлика, че уравнението е от трети ред (не от втори).
   • Първо изчисляваме производната на това уравнение:
     

     s = 5t - 3t + 2t + 9
     s = (3) 5t - (2) 3t + (1) 2t
     15t - 6t + 2t - 6t + 2

   • Сега заместваме стойността t = 4 в уравнението на производната:
     

     s = 15t - 6t + 2
     15(4) - 6(4) + 2
     15(16) - 6(4) + 2
     240 - 24 + 2 = 22 м / сек

2. 2 Нека оценим стойността на моментната скорост в точката с координати (1,3) на графиката на функцията s = 4t - t. В този случай точката P има координати (1,3) и е необходимо да се намерят няколко координати на точка Q, лежаща близо до точката P. След това изчисляваме H и намираме приблизителните стойности на моментната скорост.
   • Първо намерете Q координатите при t = 2, 1.5, 1.1 и 1.01.
     

     s = 4t - t
     
     t = 2: s = 4 (2) - (2)
     4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, така че Q = (2.14)
     
     t = 1,5: s = 4 (1,5) - (1,5)
     4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, така че Q = (1,5,7,5)
     
     t = 1,1: s = 4 (1.1) - (1.1)
     4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, така че Q = (1.1,3.74)
     
     t = 1,01: s = 4 (1,01) - (1,01)
     4 (1.0201) - 1.01 = 4.0804 - 1.01 = 3.0704, така че Q = (1.01,3.0704)

   • Сега нека изчислим H:
     

     Q = (2.14): H = (14 - 3) / (2 - 1)
     H = (11) / (1) = 11
     
     Q = (1.5,7.5): H = (7,5 - 3) / (1,5 - 1)
     H = (4.5) / (. 5) = 9
     
     Q = (1.1,3.74): H = (3,74 - 3) / (1,1 - 1)
     H = (.74) / (. 1) = 7.3
     
     Q = (1.01,3.0704): H = (3.0704 - 3) / (1.01 - 1)
     H = (.0704) / (. 01) = 7.04

   • Тъй като получените стойности на H са склонни към 7, можем да кажем, че моментната скорост на тялото в точка (1.3) е равна на 7 м / сек (прогнозна стойност).

Съвети

• За да намерите ускорение (промяната в скоростта с течение на времето), използвайте метода от първата част, за да получите производната на функцията за изместване. След това отново вземете производната на получената производна. Това ще ви даде уравнението за намиране на ускорението в даден момент от време - всичко, което трябва да направите, е да включите стойност за времето.
• Уравнението, описващо зависимостта на y (изместване) от x (време), може да бъде много просто, например: y = 6x + 3. В този случай наклонът е постоянен и не е необходимо да вземате производна, за да го намерите. Според теорията на линейните графики техният наклон е равен на коефициента на променливата x, тоест в нашия пример = 6.
• Движението е подобно на разстоянието, но има специфична посока, което го прави векторна стойност. Преместването може да бъде отрицателно, докато разстоянието може да бъде само положително.