Съдържание

• Стъпки
• Част 1 от 2: Основите
• Част 2 от 2: Разширена матрична трансформация за решаване на SLAE
• Съвети

Система от уравнения е набор от две или повече уравнения, които имат общ набор от неизвестни и следователно общо решение. Графиката на системата от линейни уравнения е две прави линии, а решението на системата е точката на пресичане на тези прави линии. За решаването на такива системи от линейни уравнения е полезно и удобно да се използват матрици.

Стъпки

Част 1 от 2: Основите

1. 1 Терминология. Системите от линейни уравнения са съставени от различни компоненти. Променливата се обозначава с азбучен знак (обикновено x или y) и означава число, което все още не знаете и трябва да намерите. Константа е определено число, което не променя стойността си.Коефициентът е числото пред променливата, тоест числото, с което променливата се умножава.
   • Например за линейно уравнение 2x + 4y = 8, x и y са променливи, 8 е константа, а числа 2 и 4 са коефициенти.
2. 2 Формуляр за система от линейни уравнения. Система от линейни алгебрични уравнения (SLAE) с две променливи може да бъде записана, както следва: ax + by = p, cx + dy = q. Всяка константа (p, q) може да бъде нула, но всяко от уравненията трябва да съдържа поне една променлива (x, y).
3. 3 Матрични изрази. Всеки SLAE може да бъде записан в матрична форма и след това, използвайки алгебричните свойства на матриците, да го реши. Когато пишете система от уравнения в матрична форма, A представлява коефициентите на матрицата, C представлява константни матрици, а X означава неизвестна матрица.
   • Например горният SLAE може да бъде преписан в следната матрична форма: A x X = C.
4. 4 Разширена матрица. Разширената матрица се получава чрез прехвърляне на матрицата на свободните членове (константи) в лявата страна. Ако имате две матрици, A и C, разширената матрица ще изглежда така:
   • Например за следната система от линейни уравнения:
     2x + 4y = 8
     x + y = 2
     Разширената матрица ще бъде 2x3 и ще изглежда така:

Част 2 от 2: Разширена матрична трансформация за решаване на SLAE

1. 1 Елементарни операции. Можете да извършвате определени операции с матрица, като по този начин получавате матрица, еквивалентна на оригиналната. Такива операции се наричат ​​елементарни. Например, за да разрешите матрица 2x3, трябва да извършите операции с ред, за да приведете матрицата в триъгълна форма. Такива операции могат да бъдат:
   • пермутация на две линии.
   • умножаване на низ с ненулево число.
   • умножаване на низ и добавяне към друг.
2. 2 Умножение на втория ред с ненулево число. Ако искате нула на втория ред, можете да умножите реда, за да стане възможно.
   • Например, ако имате такава матрица:
     
     
     Можете да запазите първия ред и да го използвате, за да получите нула на втория ред. За да направите това, първо трябва да умножите втория ред с 2:
3. 3 Умножете отново. За да получите нула за първия ред, може да се наложи да умножите отново, като използвате подобни манипулации.
   • В горния пример трябва да умножите втория ред с -1:
     
     
     След умножение матрицата ще изглежда така:
4. 4 Добавете първия ред към втория. Добавете редовете, за да получите нула на мястото на първата колона и втория ред.
   • В нашия пример добавете двата реда, за да получите следното:
5. 5 Напишете нова система от линейни уравнения за триъгълна матрица. След като имате триъгълната матрица, можете да се върнете към SLAE. Първата колона на матрицата съответства на неизвестната променлива x, а втората на неизвестната променлива y. Третата колона съответства на прихващането на уравнението.
   • За нашия пример новата система от линейни уравнения ще приеме формата:
6. 6 Решете уравнението за една от променливите. В новата SLAE определете коя променлива е най -лесна за намиране и решете уравнението.
   • В нашия пример е по -удобно да се решава от края, тоест от последното уравнение до първото, като се движи отдолу нагоре. От второто уравнение лесно можем да намерим решение за y, тъй като се отървахме от x, така че y = 2.
7. 7 Намерете втората неизвестна чрез метод на заместване. След като намерите една от променливите, можете да я включите във второто уравнение, за да намерите втората променлива.
   • В нашия пример просто заменете y с 2 в първото уравнение, за да намерите неизвестното x:

Съвети

• Матричните елементи обикновено се наричат ​​скалари.
• За да разрешите матрица 2x3, трябва да изпълните елементарни редови операции. Не можете да извършвате тези операции върху колони.