Съдържание

• Стъпки
• Съвети

Рационалната функция има формата y = N (x) / D (x), където N и D са полиноми. За да начертаете точно такава функция, имате нужда от добро познаване на алгебрата, включително диференциални изчисления. Помислете за следния пример: y = (2х - 6х + 5)/(4х + 2).

Стъпки

1. 1 Намерете y-прихващането на графиката. За да направите това, заместете x = 0 във функцията и получете y = 5/2. По този начин точката на пресичане на графиката с оста Y има координати (0, 5/2).Поставете тази точка в координатната равнина.
2. 2 Намерете хоризонталните асимптоти. Разделете числителя на знаменателя (в колона), за да определите поведението на "y" със стойности на "x", стремящи се към безкрайност. В нашия пример разделението ще бъде y = (1/2)х - (7/4) + 17/(8х + 4). За големи положителни или отрицателни стойности на "x" 17 / (8х + 4) се стреми към нула и графиката се доближава до права линия, дадена от функцията y = (1/2)х - (7/4). Използвайки пунктираната линия, начертайте тази функция.
   • Ако степента на числителя е по -малка от степента на знаменателя, тогава не можете да разделите числителя на знаменателя и асимптотата ще бъде описана от функцията при = 0.
   • Ако степента на числителя е равна на степента на знаменателя, тогава асимптотата е хоризонтална линия, равна на съотношението на коефициентите при "x" в най -високата степен.
   • Ако степента на числителя е с 1 повече от степента на знаменателя, тогава асимптотата е наклонена права линия, чийто наклон е равен на съотношението на коефициентите при "x" към най -високата степен.
   • Ако степента на числителя е по -голяма от степента на знаменателя с 2, 3 и т.н., тогава за големи стойности |NS| смисъл при са склонни към безкрайност (положителна или отрицателна) под формата на квадрат, кубик или друга степен на полином. В този случай най -вероятно не е необходимо да изграждате точна графика на функцията, получена чрез разделяне на числителя на знаменателя.
3. 3 Намерете нулите на функцията. Рационалната функция има нули, когато нейният числител е нула, тоест N (NS) = 0. В нашия пример 2х - 6х + 5 = 0. Дискриминантът на това квадратно уравнение: б - 4ак = 6 - 4 * 2 * 5 = 36 - 40 = -4. Тъй като дискриминантът е отрицателен, тогава N (NS), и следователно F (NS) няма истински корени. Графиката на рационална функция не пресича оста X. Ако функцията има нули (корени), поставете ги в координатната равнина.
4. 4 Намерете вертикалните асимптоти. За да направите това, задайте знаменателя на нула. В нашия пример 4х + 2 = 0 и NS = -1/2. Начертайте вертикалната асимптота, като използвате пунктираната линия. Ако за някаква стойност NS Н (NS) = 0 и D (NS) = 0, тогава вертикалната асимптота или съществува, или не съществува (това е рядък случай, но е по -добре да го запомните).
5. 5 Погледнете остатъка от числителя, разделен на знаменателя. Положително ли е, отрицателно или нула? В нашия пример остатъкът е 17, което е положително. Знаменател 4х + 2 положителни вдясно от вертикалната асимптота и отрицателни вляво от нея. Това означава, че графиката на рационалната функция за големи положителни стойности NS подхожда към асимптотата отгоре и за големи отрицателни стойности NS - отдолу. От 17 / (8х + 4) никога не е равна на нула, тогава графиката на тази функция никога няма да пресича правата линия, определена от функцията при = (1/2)NS - (7/4).
6. 6 Намерете локални крайности. Локален екстремум съществува за N '(х) Д (х) - Н (х) Д '(х) = 0. В нашия пример N ’(х) = 4х - 6 и D '(х) = 4. N ’(х) Д (х) - Н (х) Д '(х) = (4х - 6)(4х + 2) - (2х - 6х + 5)*4 = х + х - 4 = 0. Решавайки това уравнение, намирате това х = 3/2 и х = -5/2. (Това не са напълно точни стойности, но са подходящи за нашия случай, когато не е необходима свръхпрецизност.)
7. 7 Намерете стойността при за всеки локален екстремум. За да направите това, заменете стойностите NS в първоначалната рационална функция. В нашия пример f (3/2) = 1/16 и f (-5/2) = -65/16. Отделете точки (3/2, 1/16) и (-5/2, -65/16) на координатната равнина. Тъй като изчисленията се основават на приблизителни стойности (от предишната стъпка), намерените минимални и максимални стойности също не са напълно точни (но вероятно много близки до точните стойности). (Точката (3/2, 1/16) е много близка до локалния минимум. Започвайки от стъпка 3, ние знаем, че при винаги положителен за NS> -1/2 и открихме малка стойност (1/16); следователно стойността на грешката е изключително малка в този случай.)
8. 8 Свържете висящите точки и плавно разширете графиката до асимптотите (не забравяйте за правилната посока на графиката, приближаваща се към асимптотите). Не забравяйте, че графиката не трябва да пресича оста X (вижте стъпка 3). Графиката също не се пресича с хоризонталната и вертикалната асимптоти (вижте стъпка 5). Не променяйте посоката на диаграмата, освен в крайните точки, открити в предишната стъпка.

Съвети

• Ако сте следвали горните стъпки строго по ред, няма нужда да изчислявате вторите производни (или подобни комплексни количества), за да тествате решението си.
• Ако не е необходимо да изчислявате стойностите на количествата, можете да замените намирането на локални екстремуми, като изчислите някои допълнителни двойки координати (NS, при) между всяка двойка асимптоти. Освен това, ако не ви пука как работи описаният метод, тогава не се изненадвайте защо не можете да намерите производната и да решите уравнението N '(х) Д (х) - Н (х) Д '(х) = 0.
• В някои случаи ще трябва да работите с полиноми от по -висок ред. Ако не можете да намерите точното решение, като използвате факторизация, формули и т.н., тогава оценете възможните решения, като използвате числени методи като метода на Нютон.
• В редки случаи числителят и знаменателят споделят общ променлив фактор. Според описаните стъпки това ще доведе до нула и вертикална асимптота на едно и също място. Това обаче не е възможно и обяснението е едно от следните:
  • Нула в N (NS) има по -голяма кратност от нула в D (NS). Графика F (NS) има тенденция към нула в този момент, но не е дефинирана там. Посочете това, като нарисувате кръг около точката.
  • Нула в N (NS) и нула в D (NS) имат една и съща кратност. Графиката се доближава до някаква ненулева точка при тази стойност NSно не е дефинирано в него. Посочете това, като нарисувате кръг около точката.
  • Нула в N (NS) има по -малка кратност от нула в D (NS). Тук има вертикална асимптота.