Как да намерим уравненията на асимптотите на хиперболата

Видео: Foci of a hyperbola | Conic sections | Algebra II | Khan Academy

Съдържание

Стъпки
Метод 1 от 2: Факторинг
Метод 2 от 2: Изчислете Y
Съвети
Предупреждения

Асимптотите на хипербола са прави линии, преминаващи през центъра на хиперболата. Хиперболата се доближава до асимптотите, но никога не ги пресича (или дори докосва). Има два начина да намерите уравненията на асимптотите, които ще ви помогнат да разберете самата концепция за асимптоти.

Стъпки

Метод 1 от 2: Факторинг

1 Запишете каноничното уравнение на хипербола. Нека разгледаме най -простия пример - хипербола, чийто център се намира в началото. В този случай каноничното уравнение на хипербола има вида: /_а - /_б = 1 (когато клоните на хиперболата са насочени надясно или наляво) или /_б - /_а = 1 (когато клоните на хиперболата са насочени нагоре или надолу). Имайте предвид, че в това уравнение "x" и "y" са променливи, а "a" и "b" са константи (тоест числа).
- Пример 1:/₉ - /₁₆ = 1
- Някои учители и автори на учебници сменят константата „a“ и „b“. Затова изучете даденото уравнение, за да разберете какво е какво. Не запомнете просто уравнението - в този случай няма да разберете нищо, ако променливите и / или константи са обозначени с други символи.
2 Задайте каноничното уравнение на нула (не единица). Новото уравнение описва и двете асимптоти, но са необходими известни усилия, за да се получи уравнението за всяка асимптота.
- Пример 1:/₉ - /₁₆ = 0
3 Вземете факторизма на новото уравнение. Вземете факторинг от лявата страна на уравнението. Спомнете си как да разложите квадратно уравнение и прочетете нататък.
- Крайното уравнение (тоест факторизираното уравнение) ще бъде (__ ± __) (__ ± __) = 0.
- Когато умножавате първите термини (във всяка двойка скоби), трябва да получите термина /₉, така че извлечете квадратния корен от този член и напишете резултата вместо първото интервал във всяка двойка скоби: (/₃ ± __)(/₃ ± __) = 0
- По същия начин извлечете квадратния корен от термина /₁₆, и напишете резултата вместо второто пространство във всяка двойка скоби: (/₃ ± /₄)(/₃ ± /₄) = 0
- Открили сте всички условия на уравнението, така че вътре в една двойка скоби между термините напишете знак плюс, а вътре във втората - знак минус, така че при умножаването съответните термини да бъдат отменени: (/₃ + /₄)(/₃ - /₄) = 0
4 Задайте всеки бином (т.е. изразът във всяка двойка скоби) на нула и изчислете "y". Това ще намери две уравнения, които описват всяка асимптота.
- Пример 1: Като (/₃ + /₄)(/₃ - /₄) = 0, след това /₃ + /₄ = 0 и /₃ - /₄ = 0
- Препишете уравнението, както следва: /₃ + /₄ = 0 → /₄ = - /₃ → y = - /₃
- Препишете уравнението, както следва: /₃ - /₄ = 0 → - /₄ = - /₃ → y = /₃
5 Извършете описаните действия с хипербола, чието уравнение се различава от каноничното. В предишната стъпка открихте уравненията за асимптотите на хиперболата, центрирани в началото. Ако центърът на хиперболата е в точка с координати (h, k), тогава тя се описва със следното уравнение: /_а - /_б = 1 или /_б - /_а = 1. Това уравнение също може да бъде факторизирано. Но в този случай не докосвайте биномите (x - h) и (y - k), докато не стигнете до последната стъпка.
- Пример 2: /₄ - /₂₅ = 1
- Задайте това уравнение на 0 и го факторизирайте:
- (/₂ + /₅)(/₂ - /₅) = 0
- Приравнете всеки бином (тоест израза във всяка двойка скоби) до нула и изчислете „y“, за да намерите уравненията за асимптотите:
- /₂ + /₅ = 0 → y = - /₂x + /₂
- (/₂ - /₅) = 0 → y = /₂х - /₂

Метод 2 от 2: Изчислете Y

1 Изолирайте y -член от лявата страна на уравнението на хипербола. Използвайте този метод, когато уравнението на хипербола е в квадратна форма. Дори ако е дадено канонично уравнение на хипербола, този метод ще позволи по -добро разбиране на концепцията за асимптоти. Изолирайте y или (y - k) от лявата страна на уравнението.
- Пример 3:/₁₆ - /₄ = 1
- Добавете x към двете страни на уравнението и след това умножете двете страни по 16:
- (y + 2) = 16 (1 + /₄)
- Опростете полученото уравнение:
- (y + 2) = 16 + 4 (x + 3)
2 Вземете квадратния корен от всяка страна на уравнението. Не опростявайте обаче дясната страна на уравнението, тъй като когато извличате квадратния корен, получавате два резултата -положителен и отрицателен (например -2 * -2 = 4, така че √4 = 2 и √4 = -2). За да изброите двата резултата, използвайте символа ±.
- √ ((y + 2)) = √ (16 + 4 (x + 3))
- (y + 2) = ± √ (16 + 4 (x + 3))
3 Разберете концепцията за асимптоти. Направете това, преди да преминете към следващата стъпка. Асимптота е права линия, към която хиперболата се приближава с нарастващи стойности на "x".Хиперболата никога няма да пресече асимптотата, но с увеличаване на "x" хиперболата ще се приближи до асимптотата на безкрайно малко разстояние.
4 Трансформирайте уравнението, за да отчетете големи стойности x. Като правило, когато се работи с уравненията на асимптоти, се вземат предвид само големи стойности на "x" (тоест тези стойности, които са склонни към безкрайност). Следователно някои константи могат да бъдат пренебрегнати в уравнението, тъй като техният принос е малък в сравнение с "x". Например, ако променливата "x" е равна на няколко милиарда, добавянето на числото (константа) 3 ще има незначителен ефект върху стойността на "x".
- В уравнението (y + 2) = ± √ (16 + 4 (x + 3)), тъй като „x“ се стреми към безкрайност, константата 16 може да бъде пренебрегната.
- За големи стойности на "x" (y + 2) ≈ ± √ (4 (x + 3))
5 Изчислете y, за да намерите уравненията за асимптотите. Като се отървете от константите, можете да опростите радикалния израз. Не забравяйте, че трябва да напишете две уравнения в отговора си - едното със знак плюс, а другото със знак минус.
- y + 2 = ± √ (4 (x + 3) ^ 2)
- y + 2 = ± 2 (x + 3)
- y + 2 = 2x + 6 и y + 2 = -2x - 6
- y = 2x + 4иy = -2x - 8

Съвети

Не забравяйте, че уравнението на хиперболата и уравненията на нейните асимптоти винаги включват константи (константи).
Равностранната хипербола е хипербола, в уравнението на която a = b = c (константа).
Ако е дадено равностранно уравнение на хипербола, първо го преобразувайте в канонична форма и след това намерете уравненията за асимптотите.