Съдържание

• Стъпвам
• Част 1 от 4: Съставяне на матрицата
• Част 2 от 4: Изучаване на операциите за решаване на система с матрица
• Част 3 от 4: Обединете стъпките за решаване на галактиката
• Част 4 от 4: Проверка на вашето решение
• Съвети

Матрицата е много полезен начин за представяне на числа в блоков формат, който след това можете да използвате за решаване на система от линейни уравнения. Ако имате само две променливи, най-вероятно ще използвате различен метод. Прочетете за това в Решаване на система от уравнения за примери за тези други методи. Но ако имате три или повече променливи, масивът е идеален. Използвайки многократни комбинации от умножение и събиране, можете систематично да стигнете до решение.

Стъпвам

Част 1 от 4: Съставяне на матрицата

1. Проверете дали имате достатъчно данни. За да получите уникално решение за всяка променлива в линейна система, използваща матрица, трябва да имате толкова уравнения, колкото броят на променливите, които се опитвате да решите. Например: с променливите x, y и z са ви необходими три уравнения. Ако имате четири променливи, имате нужда от четири уравнения.
   • Ако имате по-малко уравнения от броя на променливите, ще откриете някои граници на променливите (като x = 3y и y = 2z), но не можете да получите точно решение. За тази статия ще работим само за уникално решение.
2. Напишете вашите уравнения в стандартната форма. Преди да можете да поставите данни от уравненията в матрична форма, първо напишете всяко уравнение в стандартна форма. Стандартната форма за линейно уравнение е Ax + By + Cz = D, където големите букви са коефициентите (числата), а последното число (D в този пример) е вдясно от знака за равенство.
   • Ако имате повече променливи, просто продължете реда толкова дълго, колкото е необходимо. Например, ако се опитвате да решите система с шест променливи, вашата форма по подразбиране ще изглежда Au + Bv + Cw + Dx + Ey + Fz = G. В тази статия ще се спрем на системи само с три променливи. Решаването на по-голяма галактика е абсолютно същото, но отнема повече време и повече стъпки.
   • Имайте предвид, че в стандартна форма операциите между термините винаги са допълнение. Ако във вашето уравнение има изваждане, вместо добавяне, ще трябва да работите с това по-късно, като направите коефициента си отрицателен. За да направите това по-лесно за запомняне, можете да пренапишете уравнението и да добавите операцията и да направите коефициента отрицателен. Например можете да пренапишете уравнението 3x-2y + 4z = 1 като 3x + (- 2y) + 4z = 1.
3. Поставете числата от системата на уравненията в матрица. Матрицата е група от числа, подредени в един вид таблица, с която ще работим за решаване на системата. Той основно съдържа същите данни като самите уравнения, но в по-опростен формат. За да направите матрицата на вашите уравнения в стандартна форма, просто копирайте коефициентите и резултата от всяко уравнение в един ред и подредете тези редове един върху друг.
   • Да предположим, че имате система, състояща се от трите уравнения 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 и x + y + z = 7. Най-горният ред на вашата матрица ще съдържа числата 3, 1, -1, 9, тъй като това са коефициентите и решението на първото уравнение. Имайте предвид, че всяка променлива, която няма коефициент, се приема, че има коефициент 1. Вторият ред на матрицата става 2, -2, 1, -3, а третият ред става 1, 1, 1, 7.
   • Не забравяйте да подравните x коефициентите в първата колона, y коефициентите във втората, z коефициентите в третата и членовете на решението в четвъртата. Когато приключите с работата с матрицата, тези колони ще бъдат важни при писането на вашето решение.
4. Начертайте голяма квадратна скоба около цялата си матрица. По правило матрицата се обозначава с двойка квадратни скоби, [], около целия блок от числа. Скобите не влияят по никакъв начин на решението, но показват, че работите с матрици. Матрицата може да се състои от произволен брой редове и колони. В тази статия ще използваме скоби около термини подред, за да покажем, че те принадлежат заедно.
5. Използване на обща символика. При работа с матрици е обичайно да се позовавате на редовете с абревиатурата R и колоните с абревиатурата C. Можете да използвате числа заедно с тези букви, за да посочите конкретен ред или колона. Например, за да посочите ред 1 на матрица, можете да напишете R1. След това ред 2 става R2.
   • Можете да посочите всяка конкретна позиция в матрица, като използвате комбинация от R и C. Например, за да посочите термин във втория ред, трета колона, можете да го наречете R2C3.

Част 2 от 4: Изучаване на операциите за решаване на система с матрица

1. Разберете формата на матрицата на разтвора. Преди да започнете да решавате вашата система от уравнения, трябва да разберете какво ще правите с матрицата. В този момент имате матрица, която изглежда така:
   • 3 1 -1 9
   • 2 -2 1 -3
   • 1 1 1 7
   • Работите с редица основни операции, за да създадете „матрицата на решението“. Матрицата на решението ще изглежда така:
   • 1 0 0 x
   • 0 1 0 г.
   • 0 0 1 z
   • Имайте предвид, че матрицата се състои от 1 в диагонална линия с 0 във всички останали интервали с изключение на четвъртата колона. Числата в четвъртата колона са решението за променливите x, y и z.
2. Използвайте скалярно умножение. Първият инструмент на ваше разположение за решаване на система с помощта на матрица е скалярното умножение. Това е просто термин, който означава, че умножавате елементите в ред от матрицата с константно число (не променлива). Когато използвате скалярно умножение, имайте предвид, че трябва да умножите всеки член от целия ред по каквото и число да изберете. Ако забравите първия член и просто умножите, ще получите грешното решение. Не е нужно обаче да умножавате цялата матрица едновременно. При скалярно умножение работите само по един ред наведнъж.
   • Често се използва дроб при скалярно умножение, защото често искате да получите диагонален ред от 1. Свикнете да работите с дроби. Също така ще бъде по-лесно (за повечето стъпки при решаването на матрицата) да можете да пишете своите фракции в неподходяща форма, след което да ги конвертирате обратно в смесени числа за крайното решение. Следователно с числото 1 2/3 е по-лесно да се работи, ако го напишете като 5/3.
   • Например първият ред (R1) на нашия примерен проблем започва с термините [3,1, -1,9]. Матрицата на разтвора трябва да съдържа 1 в първата позиция на първия ред. За да „променим“ 3-те на 1, можем да умножим целия ред по 1/3. Това създава новия R1 от [1,1 / 3, -1 / 3,3].
   • Не забравяйте да оставите всички отрицателни знаци там, където им е мястото.
3. Използвайте добавяне на редове или изваждане на редове. Вторият инструмент, който можете да използвате, е да добавите или извадите два реда от матрицата. За да създадете 0 термина в матрицата на вашето решение, трябва да добавите или извадите числа, за да стигнете до 0. Например, ако R1 е от матрица [1,4,3,2] и R2 е [1,3,5,8], тогава можете да извадите първия ред от втория ред и да създадете нов ред [0, -1, 2.6], тъй като 1-1 = 0 (първа колона), 3-4 = -1 (втора колона), 5-3 = 2 (трета колона) и 8-2 = 6 (четвърта колона). Когато извършвате добавяне на ред или изваждане на редове, пренапишете новия си резултат вместо реда, с който сте започнали. В този случай щяхме да извлечем ред 2 и да вмъкнем новия ред [0, -1,2,6].
   • Можете да използвате стенографска нотация и да декларирате това действие като R2-R1 = [0, -1,2,6].
   • Не забравяйте, че събирането и изваждането са точно противоположни форми на една и съща операция. Помислете за това като за добавяне на две числа или за изваждане на обратното. Например, ако започнете с простото уравнение 3-3 = 0, можете да помислите за това като за задача за добавяне на 3 + (- 3) = 0. Резултатът е същият. Това изглежда просто, но понякога е по-лесно да се разгледа проблем под една или друга форма. Просто следете негативните си признаци.
4. Комбинирайте добавяне на редове и скалярно умножение в една стъпка. Не можете да очаквате условията винаги да съвпадат, така че можете да използвате просто събиране или изваждане, за да създадете нули във вашата матрица. По-често ще трябва да добавяте (или изваждате) кратно от друг ред. За да направите това, първо правите скалярното умножение, след което добавяте този резултат към целевия ред, който се опитвате да промените.
   • Да предположим; че има ред 1 от [1,1,2,6] и ред 2 от [2,3,1,1]. Искате 0 член в първата колона на R2. Това означава, че искате да промените 2 на 0. За да направите това, трябва да извадите 2. Можете да получите 2, като първо умножите ред 1 по скаларното умножение 2 и след това извадите първия ред от втория ред. Накратко това може да бъде записано като R2-2 * R1. Първо умножете R1 по 2, за да получите [2,2,4,12]. След това извадете това от R2, за да получите [(2-2), (3-2), (1-4), (1-12)]. Опростете това и вашият нов R2 ще бъде [0,1, -3, -11].
5. Копирайте редове, които остават непроменени, докато работите. Докато работите върху матрицата, ще променяте по един ред наведнъж, или чрез скалярно умножение, добавяне на редове или изваждане на редове, или комбинация от стъпки. Когато сменяте един ред, не забравяйте да копирате останалите редове на вашата матрица в оригиналната им форма.
   • Честа грешка възниква при извършване на комбинирано стъпка на умножение и събиране в един ход. Например, да речем, че трябва да извадите R1 от R2 два пъти. Когато умножавате R1 по 2, за да направите тази стъпка, не забравяйте, че R1 не се променя в матрицата. Умножението правите само за промяна на R2. Първо копирайте R1 в оригиналната му форма, след което направете промяната на R2.
6. Първо се работи отгоре надолу. За да решите системата, вие работите по много организиран модел, като по същество "решавате" по един член от матрицата. Последователността за масив с три променливи ще изглежда така:
   • 1. Направете 1 в първия ред, първа колона (R1C1).
   • 2. Направете 0 във втория ред, първа колона (R2C1).
   • 3. Направете 1 във втория ред, втора колона (R2C2).
   • 4. Направете 0 в третия ред, първа колона (R3C1).
   • 5. Направете 0 в третия ред, втора колона (R3C2).
   • 6. Направете 1 в третия ред, трета колона (R3C3).
7. Работете обратно отдолу нагоре. На този етап, ако сте направили стъпките правилно, вие сте на половината от решението. Трябва да имате диагоналната линия на 1, с 0 под нея. В този момент числата в четвъртата колона нямат значение. Сега работите обратно към върха, както следва:
   • Създайте 0 във втория ред, трета колона (R2C3).
   • Създайте 0 в първия ред, третата колона (R1C3).
   • Създайте 0 в първия ред, втора колона (R1C2).
8. Проверете дали сте създали матрицата на решението. Ако работата ви е правилна, вие сте създали матрицата на решенията с 1 в диагонална линия на R1C1, R2C2, R3C3 и 0 в останалите позиции на първите три колони. Числата в четвъртата колона са решенията за вашата линейна система.

Част 3 от 4: Обединете стъпките за решаване на галактиката

1. Започнете с примерна система от линейни уравнения. За да практикуваме тези стъпки, нека започнем със системата, която използвахме по-рано: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 и x + y + z = 7. Ако напишете това в матрица, имате R1 = [3,1, -1,9], R2 = [2, -2,1, -3] и R3 = [1,1,1,7].
2. Създайте 1 на първа позиция R1C1. Имайте предвид, че R1 в този момент започва с 3. Трябва да го промените на 1. Можете да направите това чрез скалярно умножение, умножавайки всичките четири члена на R1 по 1/3. Накратко можете да пишете като R1 * 1/3. Това дава нов резултат за R1, ако R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Копирайте R2 и R2, непроменени, когато R2 = [2, -2,1, -3] и R3 = [1,1,1,7].
   • Имайте предвид, че умножението и делението са само обратни функции една на друга. Можем да кажем, че умножаваме по 1/3 или делим по 3, без да променяме резултата.
3. Създайте 0 във втория ред, първа колона (R2C1). В този момент R2 = [2, -2,1, -3]. За да се доближите до матрицата на разтвора, трябва да промените първия член от 2 на 0. Можете да направите това, като извадите двойно стойността на R1, тъй като R1 започва с 1. Накратко, операцията R2-2 * R1. Не забравяйте, че не променяте R1, просто работете с него. Така че първо копирайте R1, ако R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Тогава, ако удвоите всеки член от R1, ще получите 2 * R1 = [2,2 / 3, -2 / 3,6]. И накрая, извадете този резултат от оригиналния R2, ​​за да получите новия R2. Работен срок по срок, това изваждане става (2-2), (-2-2 / 3), (1 - (- 2/3)), (-3-6). Ние ги опростяваме до новия R2 = [0, -8 / 3,5 / 3, -9]. Обърнете внимание, че първият член е 0 (каквато и да е била целта ви).
   • Запишете ред 3 (който не се е променил) като R3 = [1,1,1,7].
   • Бъдете внимателни, когато изваждате отрицателни числа, за да сте сигурни, че знаците остават правилни.
   • Сега първо нека оставим фракциите в неподходящата им форма. Това улеснява по-късните стъпки на решението. Можете да опростите фракциите в последната стъпка на задачата.
4. Създайте 1 във втория ред, втора колона (R2C2). За да продължите да формирате диагоналната линия на 1, трябва да преобразувате втория член -8/3 в 1. Направете това, като умножите целия ред по реципрочното на това число (-3/8). Символично тази стъпка е R2 * (- 3/8). Полученият втори ред е R2 = [0,1, -5 / 8,27 / 8].
   • Имайте предвид, че ако лявата половина на реда започне да прилича на решението с 0 и 1, дясната половина може да започне да изглежда грозно, с неподходящи дроби. Просто ги оставете за това, което са за сега.
   • Не забравяйте да продължите да копирате недокоснатите редове, така че R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] и R3 = [1,1,1,7].
5. Създайте 0 в третия ред, първа колона (R3C1). Сега фокусът ви се премества на третия ред, R3 = [1,1,1,7]. За да направите 0 на първа позиция, трябва да извадите 1 от 1 в момента в тази позиция. Ако погледнете нагоре, има 1 на първата позиция на R1. Така че просто трябва да извадите R1 от R3, за да получите резултата, от който се нуждаете. Работен срок за срок, това става (1-1), (1-1 / 3), (1 - (- 1/3)), (7-3). След това тези четири мини-задачи могат да бъдат опростени до новия R3 = [0.2 / 3.4 / 3.4].
   • Продължете да копирате по R1 = [1.1 / 3, -1 / 3.3] и R2 = [0.1, -5 / 8.27 / 8]. Не забравяйте, че сменяте само по един ред наведнъж.
6. Направете 0 в третия ред, втора колона (R3C2). Понастоящем тази стойност е 2/3, но трябва да бъде преобразувана в 0. На пръв поглед изглежда, че можете да извадите стойностите на R1 с двойно, тъй като съответната колона на R1 съдържа 1/3. Ако обаче удвоите и извадите всички стойности на R1, нулата в първата колона на R3 се променя, което не искате. Това би било стъпка назад във вашето решение. Така че трябва да работите с някаква комбинация от R2. Изваждането на 2/3 от R2 създава 0 във втората колона, без да се променя първата колона. Накратко това е R3-2 / 3 * R2. Отделните термини стават (0-0), (2 / 3-2 / 3), (4/3 - (- 5/3 * 2/3)), (4-27 / 8 * 2/3) . Тогава опростяването дава R3 = [0,0,42 / 24,42 / 24].
7. Създайте 1 в третия ред, трета колона (R3C3). Това е просто умножение по реципрочното на числото, което казва. Текущата стойност е 42/24, така че можете да умножите по 24/42, за да получите стойността, която искате 1. Имайте предвид, че първите два члена са и 0, така че всяко умножение остава 0. Новата стойност на R3 = [0,0,1,1].
   • Имайте предвид, че фракциите, които изглеждаха доста сложни в предишната стъпка, вече започват да се решават.
   • Продължете с R1 = [1.1 / 3, -1 / 3.3] и R2 = [0.1, -5 / 8.27 / 8].
   • Имайте предвид, че в този момент имате диагонал на 1 за вашата матрица на решение. Трябва само да преобразувате три елемента от матрицата в 0, за да намерите своето решение.
8. Създайте 0 във втория ред, третата колона. R2 в момента е [0,1, -5 / 8,27 / 8], със стойност -5/8 в третата колона. Трябва да го трансформирате в 0. Това означава, че трябва да извършите някаква операция с R3, която се състои от добавяне на 5/8. Тъй като съответната трета колона на R3 е 1, трябва да умножите всички стойности на R3 по 5/8 и да добавите резултата към R2. Накратко това е R2 + 5/8 * R3. Срок за срок това е R2 = (0 + 0), (1 + 0), (-5 / 8 + 5/8), (27/8 + 5/8). Това може да бъде опростено до R2 = [0,1,0,4].
   • След това копирайте R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3] и R3 = [0,0,1,1].
9. Създайте 0 в първия ред, третата колона (R1C3). Първият ред в момента е R1 = [1,1 / 3, -1 / 3,3]. Трябва да преобразувате -1/3 в третата колона в 0, като използвате някаква комбинация от R3. Не искате да използвате R2, защото 1 във втората колона на R2 ще промени R1 по грешен начин. Така умножавате R3 * 1/3 и добавяте резултата към R1. Нотацията за това е R1 + 1/3 * R3. Срокът за разработване на термина води до R1 = (1 + 0), (1/3 + 0), (-1 / 3 + 1/3), (3 + 1/3). Можете да опростите това до нов R1 = [1,1 / 3,0,10 / 3].
   • Копирайте непромененото R2 = [0,1,0,4] и R3 = [0,0,1,1].
10. Направете 0 в първия ред, втора колона (R1C2). Ако всичко е направено правилно, това трябва да е последната стъпка. Трябва да преобразувате 1/3 във втората колона в 0. Можете да получите това, като умножите и извадите R2 * 1/3. Накратко, това е R1-1 / 3 * R2. Резултатът е R1 = (1-0), (1 / 3-1 / 3), (0-0), (10 / 3-4 / 3). Тогава опростяването дава R1 = [1,0,0,2].
11. Потърсете матрицата на решението. В този момент, ако всичко върви добре, ще имате трите реда R1 = [1,0,0,2], R2 = [0,1,0,4] и R3 = [0,0,1,1] трябва да има. Имайте предвид, че ако напишете това във формата на блоковата матрица с редовете един над друг, имате диагонал 1 с 0 по-нататък и вашите решения са в четвъртата колона. Матрицата на решението трябва да изглежда така:
    • 1 0 0 2
    • 0 1 0 4
    • 0 0 1 1
12. Разбиране на вашето решение. След преобразуване на линейните уравнения в матрица, поставяте x коефициентите в първата колона, y коефициентите във втората колона, z коефициентите в третата колона. Ако искате да пренапишете матрицата отново в уравнения, тези три реда на матрицата всъщност означават трите уравнения 1x + 0y + 0z = 2, 0x + 1y + 0z = 4 и 0x + 0y + 1z = 1. Тъй като можем да зачеркнем 0 члена и да не се налага да записваме коефициентите 1, тези три уравнения се опростяват до решението, x = 2, y = 4 и z = 1. Това е решението на вашата система от линейни уравнения.

Част 4 от 4: Проверка на вашето решение

1. Включете решенията във всяка променлива във всяко уравнение. Винаги е добра идея да проверите дали вашето решение всъщност е правилно. Правите това, като тествате резултатите си в оригиналните уравнения.
   • Оригиналните уравнения за този проблем бяха: 3x + y-z = 9, 2x-2y + z = -3 и x + y + z = 7. Когато замените променливите с техните стойности, които сте намерили, получавате 3 * 2 + 4-1 = 9, 2 * 2-2 * 4 + 1 = -3 и 2 + 4 + 1 = 7.
2. Опростете всяко сравнение. Извършвайте операциите във всяко уравнение според основните правила на операциите. Първото уравнение опростява до 6 + 4-1 = 9 или 9 = 9. Второто уравнение може да бъде опростено до 4-8 + 1 = -3 или -3 = -3. Последното уравнение е просто 7 = 7.
   • Тъй като всяко уравнение се опростява до вярно математическо твърдение, вашите решения са правилни. Ако някое от решенията е неправилно, проверете отново работата си и потърсете грешки. Някои често срещани грешки възникват, когато се отървете от знаците минус по пътя или объркате умножението и събирането на дроби.
3. Напишете окончателните си решения. За този даден проблем крайното решение е x = 2, y = 4 и z = 1.

Съвети

• Ако вашата система за уравнения е много сложна, с много променливи, може да можете да използвате графичен калкулатор, вместо да вършите работата на ръка. За информация относно това можете да се консултирате и с wikiHow.