Съдържание

• Стъпвам
• Част 1 от 3: Основите на анализа
• Част 2 от 3: Разберете производни
• Част 3 от 3: Разберете интегралите
• Съвети

Анализът (наричан още смятане) е клон на математиката, фокусиран върху граници, функции, производни, интеграли и безкрайни редици. Този предмет обхваща голяма част от математиката и лежи в основата на много от формулите и уравненията, използвани във физиката и механиката. Вероятно ще трябва да сте имали няколко години математика в гимназията, за да разберете правилно анализа, но тази статия ще ви помогне да се научите да разпознавате ключовите понятия, както и да разберете по-добре теорията.

Стъпвам

Част 1 от 3: Основите на анализа

1. Анализът е изследване на това как нещата се променят. Анализът е клон на математиката, който изследва числа и графики, обикновено взети от реални данни, и обяснява как те се променят. Въпреки че в началото това може да не изглежда много полезно, анализът е един от най-често използваните клонове на математиката. Представете си, че разполагате с инструменти, които да ви кажат колко бързо расте вашият бизнес във всеки един момент или как да начертаете хода на космическия кораб и колко бързо се изразходва неговото гориво. Анализът е важен инструмент в инженерството, икономиката, статистиката, химията и физиката и е допринесъл за много изобретения и открития.
2. Функциите са връзки между две числа и се използват за картографиране на взаимоотношения. Те са правила за връзката между числата и математиците ги използват, за да правят графики. Във функция всеки вход има точно един резултат. Например: в ${ displaystyle y = 2x + 4,}$Помислете за концепцията за безкрайността. Безкрайността е постоянно повтаряне на даден процес. Това не е конкретно място (не можете да стигнете до безкрайност), а по-скоро поведението на число или уравнение, ако е направено завинаги. Това е важно за изучаване на промяната: може да искате да знаете колко бързо се движи колата ви във всеки един момент, но това ли е колко бързо се движи колата ви през текущата секунда? Милисекунда? Наносекунда? Можете да намерите безкрайно по-малки парчета време, за да бъдете още по-точни и точно тогава идва анализът.
3. Разберете понятието граници. Ограничението ви казва какво се случва, когато нещо се приближи до безкрайността. Вземете числото 1 и го разделете на 2. Продължавайте да разделяте на 2 отново и отново. 1 става 1/2 и след това 1/4, 1/8, 1/16, 1/32 и т.н. Всеки път, когато числото става все по-малко и по-малко, "по-близо до" нула. Но къде спира? Колко пъти трябва да разделите 1 на 2, за да получите нула? Вместо да отговорите на този въпрос, при анализ вие зададете такъв граница В този случай границата е.
   • Границите са най-лесни за визуализиране в графика - например, има ли точки, които графиката почти докосва, но никога съвсем?
   • Ограниченията могат да бъдат брой, безкрайни или дори несъществуващи. Например, с последователността на събиране 1 + 2 + 2 + 2 + 2 + ... и това продължава безкрайно, крайното число става безкрайно голямо. Тогава границата става безкрайна.
4. Прегледайте основните математически концепции за алгебра, тригонометрия и основите на математиката. Анализът разчита на голяма част от математиката, която сте научили преди. Добрата информираност за всички теми улеснява много по-лесното научаване и разбиране на анализа. Някои теми, които трябва да разгледате са:
   • Алгебра. Трябва да разберете различните процеси и да можете да решавате уравнения и системи от уравнения с множество променливи. Разберете основите на колекциите. Потренирайте се да правите графики.
   • Геометрия. Геометрията е изучаването на формите. Трябва да имате основни познания за триъгълници, правоъгълници и кръгове и как да изчислявате неща като периметър и площ. Разберете ъгли, линии и координати
   • Тригонометрия. Тригонометрията е клонът на математиката, който се занимава със свойствата на окръжностите и правоъгълните триъгълници. Знаете как да използвате тригонометрични идентичности, графики, функции и обратни тригонометрични функции.
5. Закупете графичен калкулатор. Анализът не е лесен за разбиране, без да видите какво правите. Графичните калкулатори правят функциите визуални, за да можете по-добре да разберете с какви уравнения имате работа. Често ограниченията се показват и на екрана, а производните и функциите се изчисляват автоматично.
   • Много смартфони и таблети днес предлагат евтини, но ефективни графични приложения, ако не искате или не можете да си купите графичен калкулатор.

Част 2 от 3: Разберете производни

1. Анализът се използва за изследване на „промяна в определен момент“. Знанието защо нещо се променя точно в момента е ядрото на анализа. Например, анализът ви дава не само скоростта на автомобил, но и колко се променя тази скорост във всеки един момент. Това е едно от най-простите приложения на анализа, но много важно. Представете си колко важна е такава информация за определяне на скоростта, необходима за достигане на космически кораб до Луната!
   • Определянето на промяната в определен момент от времето има разграничават. Диференциацията е първият от двата основни клона на анализа.
2. Използвайте производни, за да разберете как нещата се променят в даден момент. „Производно“ е хубава дума за нещо, което често изнервя учениците. Самата концепция обаче не е толкова трудна за разбиране - тя просто означава „колко бързо се променя нещо“. Производните, които ще срещнете най-много в ежедневието, са свързани със скоростта. Обикновено обаче не го наричате „производната на скоростта“, а просто „ускорение“.
   • Ускорението е производно - то ви казва колко бързо нещо се ускорява или забавя или как скоростта му се променя.
3. Знайте, че скоростта на промяна е равна на наклона между две точки. Това е едно от най-важните открития на анализа. Скоростта на промяна между две точки е равна на наклона на линията между тези две точки. Помислете само за обикновена линия, като тази на уравнението ${ displaystyle y = 3x.}$Знайте, че можете да определите наклона на извити линии. Определянето на наклона на права линия е относително лесно: колко промени ${ displaystyle y}$Ако искате да изчислите промяната по-точно, уверете се, че точките са по-близо една до друга. Колкото по-близо изберете двете точки, толкова по-точен е вашият отговор. Да предположим, че искате да знаете колко ускорява колата ви, когато натиснете газта. Не искате да измервате промяната в скоростта между къщата и супермаркета, а промяната в скоростта от момента, в който ударите газта. Колкото по-близо се доближава четенето ви до тази част от секундата, толкова по-точно е изчислението ви на промяната.
   • Например учените изследват колко бързо някои видове изчезват, за да ги спасят. Въпреки това, повече животни умират през зимата, отколкото през лятото, така че не е полезно да се изследва скоростта на промяна през цялата година - по-добре е да се определи скоростта на промяна в по-малък период, например от 1 юли до 1 август.
4. Използвайте безкрайно кратки редове, за да определите „моментната скорост на промяна“ или да намерите производната. Тук анализът често става малко объркващ, но всъщност това е резултат от два прости факта. На първо място, знаете, че наклонът на линията е равен на това колко бързо се променя тази линия. Второ, знаете, че колкото по-близо са точките на линията една до друга, толкова по-точно ще стане четенето. Но как да намерите скоростта на промяна в дадена точка, ако наклонът е връзката между две точки? Отговорът: Вие избирате две точки, които са безкрайно близо една до друга.
   • Помислете за примера, в който продължавате да разделяте 1 на 2, като по този начин получавате 1/2, 1/4, 1/8 и т.н. Така че в крайна сметка се доближавате до нула и отговорът е „почти нула“. Точките са толкова близо една до друга, че са "почти равни помежду си". Това е естеството на производни.
5. Научете как да определяте различни производни. Има много различни техники за намиране на производно в зависимост от уравнението, но повечето от тях имат смисъл, ако сте запомнили основите на производни по-горе. Всички производни са начин за намиране на наклона на "безкрайно малка" линия. Сега, след като знаете повече за теорията на производни, голяма част от работата е в намирането на отговорите.
6. Намерете получените уравнения, за да предскажете скоростта на промяна по всяко време. Полезно е да се използват производни, за да се определи скоростта на промяна по всяко време, но красотата на анализа е, че можете да създадете нов модел за всяка функция. Производната на ${ displaystyle y = x ^ {2},}$Ако ви е трудно да разберете това, опитайте се да си спомните реални примери за производни. Най-простият пример се основава на скоростта, която обхваща много различни производни, които срещаме всеки ден. Не забравяй: производно е мярка за това колко бързо се променя нещо. Помислете за прост експеримент. Разточвате мрамор на маса и всеки път измервате колко се движи и колко бързо. Сега си представете, че подвижният мрамор следва линия на графика - използвате производни, за да измервате моментните промени по всяко време на тази линия.
   • Колко бързо се движи мраморът? С каква скорост се променя положението (или производното) на движещия се мрамор? Ние наричаме това производно "скорост".
   • Разточете мрамора по наклон и наблюдавайте как се променя скоростта. Каква е скоростта на промяна или производната на скоростта на мрамора? Това производно е това, което наричаме „ускорение“.
   • Разточете мрамора по вълнообразна писта, като влакче в увеселителен парк. До каква степен мраморът набира скорост, когато се търкаля надолу, и до каква степен мраморът се забавя нагоре? Колко бързо върви мраморът точно когато е на половината път нагоре по първия хълм? Това е моментната скорост на промяна или производното на този мрамор в тази конкретна точка.

Част 3 от 3: Разберете интегралите

1. Знайте, че можете да използвате анализ, за ​​да намерите сложни области и обеми. С анализ можете да измерите сложни форми, които иначе са трудни за измерване. Помислете например за проблема, който искате да знаете колко вода съдържа едно дълго езеро с неправилна форма - невъзможно е да се измери всеки литър вода поотделно или да се използва линийка за измерване на формата на езерото. С анализ можете да проучите как се променят ръбовете на езерото и след това да използвате тази информация, за да разберете колко вода съдържа.
   • Изработване на геометрични модели и изследване на обеми интегрират. Интегрираното смятане е вторият важен клон на анализа.
2. Знайте, че интеграцията е областта под графика. Интеграцията се използва за измерване на пространството под линия, което ви позволява да определите площта на странни или неправилни форми. Вземете уравнението ${ displaystyle y = 4-x ^ {2},}$Знайте, че трябва да изберете област за интегриране. Не можете просто да интегрирате цяла функция. Например, ${ displaystyle y = x}$Помислете как да изчислите площта на правоъгълник. Да предположим, че имате плоска линия над графика, като ${ displaystyle y = 4.}$Знайте, че в интегралното смятане се събират много малки правоъгълници, за да се намери площта на дадена област. Когато увеличите кривата значително, изглежда, че е права линия. Виждате това всеки ден - не можете да възприемете кривината на земята, защото сте толкова близо до земната повърхност. Интеграцията създава безкраен брой малки правоъгълници под крива, които са толкова малки, че всъщност са плоски, което ви позволява да ги преброите. Всички тези правоъгълници, събрани заедно, образуват площта на площта под крива.
   • Да предположим, че събирате много малки сегменти под графиката и това е ширината на всеки сегмент почти е нула.
3. Знаете как да четете и записвате правилно интеграли. Интегралите се състоят от 4 части. Типичен интеграл изглежда така:
   
   ${ displaystyle int f (x) mathrm {d} x}$ Научете повече за намирането на интеграли. Интеграцията се предлага в много форми и трябва да научите много различни формули, за да интегрирате всяка функция. Всички те обаче следват принципите, посочени по-горе: интеграцията е сбор от безкраен брой неща.
   • Интегрирайте чрез заместване.
   • Изчислете неопределени интеграли.
   • Интегрирайте чрез споделяне.
4. Знайте, че интеграцията е обратното на диференциацията и обратно. Това е правило за анализ, което е толкова важно, че е получило собственото си име: Основната теорема за интегралното изчисление.Тъй като интеграцията и диференциацията са толкова тясно свързани, комбинация от двете може да се използва за определяне на скоростта на промяна, ускорение, скорост, местоположение, движение и т.н., независимо от информацията, която имате.
   • Например, не забравяйте, че производната на скоростта е ускорението, така че можете да използвате скоростта, за да намерите ускорението. Но ако знаете само ускорението на нещо (например обекти, падащи поради гравитацията), тогава можете да се интегрирате, за да възвърнете скоростта!
5. Знайте, че с интеграцията можете също да контролирате силата на звука на 3D обектите. Въртенето на плоска форма е един от начините за създаване на 3D твърди тела. Представете си монета, която се върти на масата - забележете как изглежда, че монетата приема формата на сфера, докато се върти. Тази концепция ви позволява да определите обема според процес, известен като "обем чрез въртене".
   • Това ви позволява да определите обема на всяко твърдо вещество, стига да имате функция, която го представлява. Например можете да създадете функция, която проследява дъното на езеро и след това да я използвате, за да определите обема на езерото или колко вода съдържа.

Съвети

• Практиката е перфектна, така че правете упражненията в учебника си - дори тези, които вашият учител не е дал - и проверявайте отговорите си, за да ви помогне да разберете по-добре понятията.
• Ако не можете да намерите решение, попитайте учителя си.