Съдържание

• Стъпки

Тригонометричното уравнение съдържа една или повече тригонометрични функции на променливата "x" (или всяка друга променлива). Решаването на тригонометрично уравнение е намирането на такава стойност "x", която удовлетворява функцията (ите) и уравнението като цяло.

• Решенията на тригонометричните уравнения се изразяват в градуси или радиани. Примери:

x = π / 3; x = 5π / 6; x = 3π / 2; х = 45 градуса; х = 37,12 градуса; x = 178,37 градуса.

• Забележка: стойностите на тригонометричните функции от ъгли, изразени в радиани, и от ъгли, изразени в градуси, са равни. Тригонометричен кръг с радиус, равен на един, се използва за описание на тригонометрични функции, както и за проверка на правилността на решението на основните тригонометрични уравнения и неравенства.
• Примери за тригонометрични уравнения:
  • sin x + sin 2x = 1/2; tg x + ctg x = 1,732;
  • cos 3x + sin 2x = cos x; 2sin 2x + cos x = 1.

1. Тригонометричен кръг с радиус един (единична окръжност).
   • Това е окръжност с радиус, равен на един и център в точка О. Единичната окръжност описва 4 основни тригонометрични функции на променливата "x", където "x" е ъгълът, измерен от положителната посока на оста X обратно на часовниковата стрелка.
   • Ако "x" е някакъв ъгъл на единичната окръжност, тогава:
   • Хоризонталната ос OAx определя функцията F (x) = cos x.
   • Вертикалната ос OBy определя функцията F (x) = sin x.
   • Вертикалната ос AT определя функцията F (x) = tan x.
   • Хоризонталната ос BU определя функцията F (x) = ctg x.

• Единичната окръжност се използва и за решаване на основни тригонометрични уравнения и неравенства (върху нея се разглеждат различни позиции на "x").

Стъпки

1. 1 Концепцията за решаване на тригонометрични уравнения.
   • За да решите тригонометрично уравнение, го преобразувайте в едно или повече основни тригонометрични уравнения. Решаването на тригонометрично уравнение в крайна сметка се свежда до решаване на четири основни тригонометрични уравнения.
2. 2 Решаване на основни тригонометрични уравнения.
   • Има 4 вида основни тригонометрични уравнения:
   • sin x = a; cos x = a
   • tg x = a; ctg x = a
   • Решаването на основни тригонометрични уравнения включва разглеждане на различните позиции x на единичната окръжност и използване на таблица за преобразуване (или калкулатор).
   • Пример 1. sin x = 0.866. Използвайки таблица за преобразуване (или калкулатор), получавате отговора: x = π / 3. Единичната окръжност дава друг отговор: 2π / 3. Запомнете: всички тригонометрични функции са периодични, тоест стойностите им се повтарят. Например, периодичността на sin x и cos x е 2πn, а периодичността на tg x и ctg x е πn. Следователно отговорът е написан, както следва:
   • x1 = π / 3 + 2πn; x2 = 2π / 3 + 2πn.
   • Пример 2.cos x = -1/2. Използвайки таблица за преобразуване (или калкулатор), получавате отговора: x = 2π / 3. Единичната окръжност дава друг отговор: -2π / 3.
   • x1 = 2π / 3 + 2π; x2 = -2π / 3 + 2π.
   • Пример 3.tg (x - π / 4) = 0.
   • Отговор: x = π / 4 + πn.
   • Пример 4. ctg 2x = 1.732.
   • Отговор: x = π / 12 + πn.
3. 3 Трансформации, използвани за решаване на тригонометрични уравнения.
   • За трансформиране на тригонометрични уравнения се използват алгебрични трансформации (факторизация, редукция на хомогенни членове и т.н.) и тригонометрични идентичности.
   • Пример 5. Използвайки тригонометрични идентичности, уравнението sin x + sin 2x + sin 3x = 0 се трансформира в уравнението 4cos x * sin (3x / 2) * cos (x / 2) = 0. По този начин трябва да решаване на следните основни тригонометрични уравнения: cos x = 0; sin (3x / 2) = 0; cos (x / 2) = 0.
     
     
4. 4 Намиране на ъгли от известни стойности на функциите.
   • Преди да научите методи за решаване на тригонометрични уравнения, трябва да се научите как да намирате ъгли от известни стойности на функциите. Това може да стане с помощта на таблица за преобразуване или калкулатор.
   • Пример: cos x = 0,732. Калкулаторът ще даде отговор x = 42,95 градуса. Единичната окръжност ще даде допълнителни ъгли, косинусът на които също е 0,732.
5. 5 Оставете разтвора настрани върху единичния кръг.
   • Можете да отложите решенията на тригонометричното уравнение на единичната окръжност. Решенията на тригонометричното уравнение на единичната окръжност са върховете на правилен многоъгълник.
   • Пример: Решенията x = π / 3 + πn / 2 на единичната окръжност са върховете на квадрат.
   • Пример: Решенията x = π / 4 + πn / 3 на единичната окръжност представляват върховете на правилен шестоъгълник.
6. 6 Методи за решаване на тригонометрични уравнения.
   • Ако дадено триг уравнение съдържа само една триг функция, решете това уравнение като основно триг уравнение.Ако дадено уравнение включва две или повече тригонометрични функции, тогава има 2 метода за решаване на такова уравнение (в зависимост от възможността за неговото преобразуване).
     • Метод 1.
   • Преобразувайте това уравнение в уравнение от вида: f (x) * g (x) * h (x) = 0, където f (x), g (x), h (x) са основните тригонометрични уравнения.
     
     
   • Пример 6.2cos x + sin 2x = 0. (0 x 2π)
   • Решение. Използвайки формулата за двоен ъгъл sin 2x = 2 * sin x * cos x, заменете sin 2x.
   • 2cos x + 2 * sin x * cos x = 2cos x * (sin x + 1) = 0. Сега решете двете основни тригонометрични уравнения: cos x = 0 и (sin x + 1) = 0.
   • Пример 7.cos x + cos 2x + cos 3x = 0. (0 x 2π)
   • Решение: Използвайки тригонометрични идентичности, преобразувайте това уравнение в уравнение от вида: cos 2x (2cos x + 1) = 0. Сега решете двете основни тригонометрични уравнения: cos 2x = 0 и (2cos x + 1) = 0.
   • Пример 8.sin x - sin 3x = cos 2x. (0 x 2π)
   • Решение: Използвайки тригонометрични идентичности, преобразувайте това уравнение в уравнение от вида: -cos 2x * (2sin x + 1) = 0. Сега решете двете основни тригонометрични уравнения: cos 2x = 0 и (2sin x + 1) = 0.
     • Метод 2.
   • Преобразувайте даденото тригонометрично уравнение в уравнение, съдържащо само една тригонометрична функция. След това заменете тази тригонометрична функция с някаква неизвестна, например t (sin x = t; cos x = t; cos 2x = t, tg x = t; tg (x / 2) = t и т.н.).
   • Пример 9.3sin ^ 2 x - 2cos ^ 2 x = 4sin x + 7 (0 x 2π).
   • Решение. В това уравнение заменете (cos ^ 2 x) с (1 - sin ^ 2 x) (по идентичност). Трансформираното уравнение е:
   • 3sin ^ 2 x - 2 + 2sin ^ 2 x - 4sin x - 7 = 0. Заменете sin x с t. Уравнението сега изглежда така: 5t ^ 2 - 4t - 9 = 0. Това е квадратно уравнение с два корена: t1 = -1 и t2 = 9/5. Вторият корен t2 не отговаря на диапазона от стойности на функцията (-1 sin x 1). Сега решете: t = sin x = -1; x = 3π / 2.
   • Пример 10.tg x + 2 tg ^ 2 x = ctg x + 2
   • Решение. Заменете tg x с t. Препишете първоначалното уравнение, както следва: (2t + 1) (t ^ 2 - 1) = 0. Сега намерете t и след това намерете x за t = tg x.
7. 7 Специални тригонометрични уравнения.
   • Има няколко специални тригонометрични уравнения, които изискват специфични трансформации. Примери:
   • a * sin x + b * cos x = c; a (sin x + cos x) + b * cos x * sin x = c;
   • a * sin ^ 2 x + b * sin x * cos x + c * cos ^ 2 x = 0
8. 8 Периодичност на тригонометричните функции.
   • Както бе споменато по -рано, всички тригонометрични функции са периодични, тоест техните стойности се повтарят след определен период. Примери:
     • Периодът на функцията f (x) = sin x е 2π.
     • Периодът на функцията f (x) = tan x е равен на π.
     • Периодът на функцията f (x) = sin 2x е π.
     • Периодът на функцията f (x) = cos (x / 2) е 4π.
   • Ако периодът е посочен в задачата, изчислете стойността "x" в рамките на този период.
   • Забележка: Решаването на тригонометрични уравнения не е лесна задача и често води до грешки. Затова проверете внимателно отговорите си. За да направите това, можете да използвате графичен калкулатор, за да начертаете даденото уравнение R (x) = 0. В такива случаи решенията ще бъдат представени като десетични дроби (т.е. π се заменя с 3.14).