Съдържание

• Стъпки
• Част 1 от 3: Разлагане на биноми
• Част 2 от 3: Разлагане на биноми за решаване на уравнения
• Част 3 от 3: Решаване на сложни проблеми
• Съвети
• Предупреждения

Биномиал (биномиал) е математически израз с два члена, между които има знак плюс или минус, например, ${ displaystyle брадва + b}$... Първият член включва променливата, а вторият включва или не я включва. Факторирането на биномиал включва намиране на термини, които, когато се умножат, произвеждат оригиналния бином, за да го разрешат или опростят.

Стъпки

Част 1 от 3: Разлагане на биноми

1. 1 Разберете основите на процеса на факторинг. При факториране на бином, коефициентът, който е делител на всеки член на първоначалния бином, се изважда от скобата. Например числото 6 е напълно делимо на 1, 2, 3, 6. Така делителите на числото 6 са числата 1, 2, 3, 6.
   • Делители 32: 1, 2, 4, 8, 16, 32.
   • Делителите на произволно число са 1 и самото число. Например делителите на 3 са 1 и 3.
   • Целочислените делители могат да бъдат само цели числа. Числото 32 може да бъде разделено на 3.564 или 21.4952, но получавате не цяло число, а десетична дроб.
2. 2 Поръчайте условията на биномиала, за да улесните процеса на факторинг. Биномиалът е сумата или разликата на два члена, поне един от които съдържа променлива. Понякога променливите се повишават до степен, например ${ displaystyle x ^ {2}}$ или ${ displaystyle 5y ^ {4}}$... По -добре е да подредите условията на биномина във възходящ ред на показателите, тоест членът с най -малкия показател се записва първи, а с най -големия - последният. Например:
   • ${ displaystyle 3t + 6}$ → ${ displaystyle 6 + 3t}$
   • ${ displaystyle 3x ^ {4} + 9x ^ {2}}$ → ${ displaystyle 9x ^ {2} + 3x ^ {4}}$
   • ${ displaystyle x ^ {2} -2}$ → ${ displaystyle -2 + x ^ {2}}$
     • Забележете знака минус пред 2. Ако терминът се извади, напишете знак минус пред него.
3. 3 Намерете най -големия общ делител (GCD) на двата термина. GCD е най -голямото число, с което и двата члена на бинома са делими. За да направите това, намерете делителите на всеки член в бинома и след това изберете най -големия общ делител. Например:
   • Задача:${ displaystyle 3t + 6}$.
     • Делители 3: 1, 3
     • Делители 6: 1, 2, 3, 6.
     • GCD = 3.
4. 4 Разделете всеки член в бинома на Най -големия общ делител (GCD). Направете това, за да изключите GCD. Имайте предвид, че всеки член на бинома намалява (тъй като е делим), но ако GCD е изключен от скобите, крайният израз ще бъде равен на първоначалния.
   • Задача:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Намерете GCD: 3
   • Разделете всеки двучлен член на gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
5. 5 Преместете делителя извън скобите. По -рано разделихте и двата члена на биномина с делителя 3 и получихте ${ displaystyle t + 2}$... Но не можете да се отървете от 3 - за да бъдат равни стойностите на началните и крайните изрази, трябва да поставите 3 извън скобите и да напишете израза, получен в резултат на разделяне в скоби. Например:
   • Задача:${ displaystyle 3t + 6}$.
   • Намерете GCD: 3
   • Разделете всеки двучлен член на gcd:${ displaystyle { frac {3t} {3}} + { frac {6} {3}} = t + 2}$
   • Умножете делителя с получения резултат:${ displaystyle 3 (t + 2)}$
   • Отговор: ${ displaystyle 3 (t + 2)}$
6. 6 Провери си отговора. За да направите това, умножете термина преди скобите с всеки термин в скобите. Ако получите оригиналния бином, решението е правилно. Сега решете проблема ${ displaystyle 12t + 18}$:
   • Поръчайте членовете:${ displaystyle 18 + 12t}$
   • Намерете GCD:${ displaystyle 6}$
   • Разделете всеки двучлен член на gcd:${ displaystyle { frac {18t} {6}} + { frac {12t} {6}} = 3 + 2t}$
   • Умножете делителя с получения резултат:${ displaystyle 6 (3 + 2t)}$
   • Проверете отговора:${ displaystyle (6 * 3) + (6 * 2t) = 18 + 12t}$

Част 2 от 3: Разлагане на биноми за решаване на уравнения

1. 1 Умножете биномиала, за да го опростите и решите уравнението. На пръв поглед изглежда невъзможно да се решат някои уравнения (особено със сложни биномиали). Например, решете уравнението ${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$... В това уравнение има степени, така че първо факторизирайте израза.
   • Задача:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Не забравяйте, че биномът има два члена. Ако изразът включва повече термини, научете как да решавате полиноми.
2. 2 Добавете или извадете монома от двете страни на уравнението, така че нулата да остане от едната страна на уравнението. В случай на факторизация решението на уравнения се основава на неизменния факт, че всеки израз, умножен по нула, е равен на нула. Следователно, ако приравним уравнението към нула, тогава всеки негов фактор трябва да бъде равен на нула. Задайте едната страна на уравнението на 0.
   • Задача:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Задайте на нула:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} + 3y = -3y + 3y}$
     • ${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
3. 3 Факторизирайте получената кошница. Направете това, както е описано в предишния раздел. Намерете най -големия общ множител (GCD), разделете двата члена на бинома с него и след това преместете фактора извън скобите.
   • Задача:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Задайте на нула:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} = 0}$
   • Фактор:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
4. 4 Задайте всеки фактор на нула. В получения израз 2y се умножава по 4 - y и това произведение е равно на нула. Тъй като всеки израз (или термин), умножен по нула, е нула, тогава 2y или 4 - y е 0. Задайте получения моном и бином на нула, за да намерите "y".
   • Задача:${ displaystyle 5y -2y ^ {2} = - 3y}$
   • Задайте на нула:${ displaystyle 8y-2y ^ {2} + 3y = 0}$
   • Фактор:${ displaystyle 2y (4-y) = 0}$
   • Задайте двата фактора на 0:
     • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y = 0}$
5. 5 Решете получените уравнения, за да намерите окончателния отговор (или отговори). Тъй като всеки фактор се равнява на нула, уравнението може да има множество решения. В нашия пример:
   • ${ displaystyle 2y = 0}$
     • ${ displaystyle { frac {2y} {2}} = { frac {0} {2}}}$
     • y = 0
   • ${ displaystyle 4-y = 0}$
     • ${ displaystyle 4-y + y = 0 + y}$
     • y = 4
6. 6 Провери си отговора. За да направите това, заменете намерените стойности в оригиналното уравнение. Ако равенството е вярно, тогава решението е правилно. Заменете намерените стойности вместо "y". В нашия пример y = 0 и y = 4:
   • ${ displaystyle 5 (0) -2 (0) ^ {2} = - 3 (0)}$
     • ${ displaystyle 0 + 0 = 0}$
     • ${ displaystyle 0 = 0}$Това е правилното решение
   • ${ displaystyle 5 (4) -2 (4) ^ {2} = - 3 (4)}$
     • ${ displaystyle 20-32 = -12}$
     • ${ displaystyle -12 = -12}$И това е правилното решение

Част 3 от 3: Решаване на сложни проблеми

1. 1 Не забравяйте, че термин с променлива също може да бъде факторизиран, дори ако променливата е повишена до степен. Когато факторирате, трябва да намерите моном, който разделя всеки член на биномиала интегрално. Например едночленът ${ displaystyle x ^ {4}}$ може да се факторизира ${ displaystyle x * x * x * x}$... Тоест, ако вторият член на бинома също съдържа променливата "x", тогава "x" може да бъде извадено от скобите. По този начин третирайте променливите като цели числа. Например:
   • И двамата членове на бинома ${ displaystyle 2t + t ^ {2}}$ съдържат "t", така че "t" може да бъде извадено от скобите: ${ displaystyle t (2 + t)}$
   • Също така променлива, повишена до степен, може да бъде извадена от скобата. Например и двамата членове на бинома ${ displaystyle x ^ {2} + x ^ {4}}$ съдържат ${ displaystyle x ^ {2}}$, така ${ displaystyle x ^ {2}}$ може да се извади от скобата: ${ displaystyle x ^ {2} (1 + x ^ {2})}$
2. 2 Добавете или извадете подобни термини, за да получите бином. Например, предвид израза ${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$... На пръв поглед това е полином, но всъщност този израз може да бъде преобразуван в бином. Добавете подобни термини: 6 и 14 (не съдържат променлива) и 2x и 3x (съдържат същата променлива "x"). В този случай процесът на факторинг ще бъде опростен:
   • Оригинален израз:${ displaystyle 6 + 2x + 14 + 3x}$
   • Поръчайте членовете:${ displaystyle 2x + 3x + 14 + 6}$
   • Добавете подобни условия:${ displaystyle 5x + 20}$
   • Намерете GCD:${ displaystyle 5 (x) +5 (4)}$
   • Фактор:${ displaystyle 5 (x + 4)}$
3. 3 Умножете разликата на перфектните квадрати. Перфектен квадрат е число, чийто квадратен корен е цяло число, например ${ displaystyle 9}$${ displaystyle (3 * 3)}$, ${ displaystyle x ^ {2}}$${ displaystyle (x * x)}$ и дори ${ displaystyle 144t ^ {2}}$${ displaystyle (12t * 12t)}$... Ако биномът е разликата на перфектните квадрати, например, ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, тогава се факторизира по формулата:
   • Формула за разлика в квадратите:${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a -b)}$
   • Задача:${ displaystyle 4x ^ {2} -9}$
   • Извлечете квадратните корени:
     • ${ displaystyle { sqrt {4x ^ {2}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt {9}} = 3}$
   • Заменете намерените стойности във формулата: ${ displaystyle 4x ^ {2} -9 = (2x + 3) (2x -3)}$
4. 4 Факторизирайте разликата между пълните кубчета. Ако биномът е разликата на пълните кубчета, например, ${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3}}$, след това се факторизира с помощта на специална формула. В този случай е необходимо да извлечете кубичния корен от всеки член на бинома и да замените намерените стойности във формулата.
   • Формулата за разликата между кубчетата:${ displaystyle a ^ {3} -b ^ {3} = (a -b) (a ^ {2} + ab + b ^ {2})}$
   • Задача:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Извлечете кубични корени:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Заменете намерените стойности във формулата: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x -3) (4x ^ {2} + 6x + 9)}$
5. 5 Разложим на множеството сумата на пълните кубчета. За разлика от сумата от перфектни квадрати, сумата от пълни кубчета, например, ${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3}}$, могат да бъдат факторизирани с помощта на специална формула. Подобно е на формулата за разликата между кубчетата, но знаците са обърнати. Формулата е съвсем проста - за да я използвате, намерете сумата от пълни кубчета в задачата.
   • Формулата за сумата от кубчета:${ displaystyle a ^ {3} + b ^ {3} = (a + b) (a ^ {2} -ab + b ^ {2})}$
   • Задача:${ displaystyle 8x ^ {3} -27}$
   • Извлечете кубични корени:
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {8x ^ {3}}} = 2x}$
     • ${ displaystyle { sqrt [{3}] {27}} = 3}$
   • Заменете намерените стойности във формулата: ${ displaystyle 8x ^ {3} -27 = (2x + 3) (4x ^ {2} -6x + 9)}$

Съвети

• Понякога биномните членове нямат общ делител. В някои задачи членовете са представени в опростена форма.
• Ако не можете да намерите GCD веднага, започнете с разделяне на малки числа. Например, ако не виждате, че GCD на числа 32 и 16 е 16, разделете двете числа на 2. Получавате 16 и 8; тези числа могат да бъдат разделени на 8. Сега получавате 2 и 1; тези числа не могат да бъдат намалени. По този начин е очевидно, че има по -голямо число (в сравнение с 8 и 2), което е общият делител на двете дадени числа.
• Обърнете внимание, че условията от шести ред (с показател на 6, например х) са както перфектни квадрати, така и перфектни кубчета. По този начин към биноми с членове от шести ред, например x - 64, могат да се приложат (в произволен ред) формулите за разликата на квадратите и разликата на кубовете. Но е по -добре първо да се приложи формулата за разликата на квадратите, за да се разложи по -правилно с бином.

Предупреждения

• Биномиал, който е сумата от перфектни квадрати, не може да бъде факторизиран.