Съдържание

• Предварителна информация
• Стъпки
• Част 1 от 3: Основите
• Част 2 от 3: Свойства на преобразуването на Лаплас
• Част 3 от 3: Намиране на преобразуването на Лаплас чрез разширяване на серията

Преобразуването на Лаплас е интегрално преобразуване, което се използва за решаване на диференциални уравнения с постоянни коефициенти. Тази трансформация се използва широко във физиката и инженерството.

Въпреки че можете да използвате подходящите таблици, е полезно да разберете преобразуването на Лаплас, така че да можете да го направите сами, ако е необходимо.

Предварителна информация

• Дадена функция ${ displaystyle f (t)}$определено за ${ displaystyle t geq 0.}$ Тогава Трансформация на Лаплас функция ${ displaystyle f (t)}$ е следващата функция на всяка стойност ${ displaystyle s}$, при което интегралът се сближава:
  • ${ displaystyle F (s) = { mathcal {L}} {f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} T}$
• Трансформацията на Лаплас поема функция от t-региона (времева скала) до s-региона (област на трансформация), където ${ displaystyle F (s)}$ е сложна функция на сложна променлива. Тя ви позволява да преместите функцията в област, където по -лесно може да се намери решение.
• Очевидно преобразуването на Лаплас е линеен оператор, така че ако имаме работа с сума от термини, всеки интеграл може да се изчисли отделно.
  • ${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} [af (t) + bg (t)] e ^ {- st} mathrm {d} t = a int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t + b int _ {0} ^ { infty} g (t) e ^ {- st} mathrm {d} t}$
• Не забравяйте, че преобразуването на Лаплас работи само ако интегралът се сближи. Ако функцията ${ displaystyle f (t)}$ има прекъсвания, е необходимо да се внимава и правилно да се определят границите на интеграция, за да се избегне несигурност.

Стъпки

Част 1 от 3: Основите

1. 1 Заместете функцията във формулата за преобразуване на Лаплас. Теоретично трансформацията на Лаплас на функция е много лесна за изчисляване. Като пример, помислете за функцията ${ displaystyle f (t) = e ^ {в}}$, където ${ displaystyle a}$ е сложна константа с ${ displaystyle име на оператор {Re} (и) име на оператор {Re} (а).}$
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} } = int _ {0} ^ { infty} e ^ {at} e ^ {- st} mathrm {d} t}$
2. 2 Оценете интеграла, като използвате наличните методи. В нашия пример оценката е много проста и можете да се справите с прости изчисления. В по -сложни случаи може да са необходими по -сложни методи, например интегриране по части или диференциране под интегралния знак. Състояние на ограничение ${ displaystyle име на оператор {Re} (s) име на оператор {Re} (a)}$ означава, че интегралът се сближава, тоест стойността му се стреми към 0 as ${ displaystyle t to infty.}$
   • ${ displaystyle { start {align} { mathcal {L}} {e ^ {at} } & = int _ {0} ^ { infty} e ^ {(as) t} mathrm {d } t & = { frac {e ^ {(as) t}} {as}} Bigg _ {0} ^ { infty} & = { frac {1} {sa}} end {подравнено}}}$
   • Имайте предвид, че това ни дава два типа преобразуване на Лаплас, със синус и косинус, тъй като според формулата на Ойлер ${ displaystyle e ^ {iat}}$... В този случай в знаменателя получаваме ${ displaystyle s-ia,}$ и остава само да се определят реалните и въображаемите части. Можете също да оцените резултата директно, но това ще отнеме малко повече време.
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { cos at } = име на оператора {Re} наляво ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {s} {s ^ {2} + а ^ {2}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} { sin при } = име на оператора {Im} наляво ({ frac {1} {s-ia}} right) = { frac {a} {s ^ {2} + а ^ {2}}}}$
3. 3 Помислете за преобразуването на Лаплас на степенна функция. Първо, трябва да дефинирате трансформацията на степенната функция, тъй като свойството линейност ви позволява да намерите трансформацията за от всички полиноми. Функция на формата ${ displaystyle t ^ {n},}$ където ${ displaystyle n}$ - всяко положително цяло число. Може да се интегрира парче по парче, за да се определи рекурсивно правило.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = int _ {0} ^ { infty} t ^ {n} e ^ {- st} mathrm {d} t = { frac {n} {s}} { mathcal {L}} {t ^ {n-1} }}$
   • Този резултат се изразява имплицитно, но ако замените няколко стойности ${ displaystyle n,}$ можете да установите определен модел (опитайте се да го направите сами), което ви позволява да получите следния резултат:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {n!} {s ^ {n + 1}}}}$
   • Можете също така да дефинирате преобразуването на Лаплас на дробните степени, като използвате гама функцията. Например по този начин можете да намерите трансформацията на функция като напр ${ displaystyle f (t) = { sqrt {t}}.}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} } = { frac {{Гама (n + 1)} {s ^ {n + 1}}}}$
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {1/2} } = { frac { Gamma (3/2)} {s ^ {3/2}}} = { frac {{ sqrt { pi}} {2s { sqrt {s}}}}}$
   • Въпреки че функциите с дробни степени трябва да имат съкращения (не забравяйте, че всички комплексни числа ${ displaystyle z}$ и ${ displaystyle alpha}$ може да се запише като ${ displaystyle z ^ { alpha}}$, защото ${ displaystyle e ^ { alpha име на оператор {Дневник} z}}$), те винаги могат да бъдат дефинирани по такъв начин, че разрезите да лежат в лявата полуравнина и по този начин да се избегнат проблеми с аналитичността.

Част 2 от 3: Свойства на преобразуването на Лаплас

1. 1 Нека намерим преобразуването на Лаплас на функцията, умножено по даT{ displaystyle e ^ {в}}. Резултатите, получени в предишния раздел, ни позволиха да открием някои интересни свойства на преобразуването на Лаплас. Трансформацията на Лаплас на функции като косинус, синус и експоненциална функция изглежда по -проста от преобразуването на степенната функция. Умножение по ${ displaystyle e ^ {в}}$ в t-региона съответства на смяна в s-региона:
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {at} f (t) } = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- (sa) t} mathrm {d} t = F (sa)}$
   • Това свойство веднага ви позволява да намерите трансформацията на функции като напр ${ displaystyle f (t) = e ^ {3t} sin 2t}$, без да се налага изчисляване на интеграла:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {3t} sin 2t } = { frac {2} {(s-3) ^ {2} +4}}}$
2. 2 Нека намерим преобразуването на Лаплас на функцията, умножено по Tн{ displaystyle t ^ {n}}. Първо, помислете за умножение по ${ displaystyle t}$... По дефиниция може да се разграничи функция под интеграл и да се получи изненадващо прост резултат:
   • ${ displaystyle { start {align} { mathcal {L}} {tf (t) } & = int _ {0} ^ { infty} tf (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = - int _ {0} ^ { infty} f (t) { frac { частично} { частично s}} e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} s}} int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ { - st} mathrm {d} t & = - { frac { mathrm {d} F} { mathrm {d} s}} end {подравнено}}}$
   • Повтаряйки тази операция, получаваме крайния резултат:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {n} f (t) } = (- 1) ^ {n} { frac {{mathrm {d} ^ {n} F} { mathrm {d} s ^ {n}}}}$
   • Въпреки че пренареждането на операторите на интегриране и диференциране изисква известна допълнителна обосновка, ние няма да го представяме тук, а само отбелязваме, че тази операция е правилна, ако крайният резултат има смисъл. Можете също така да вземете предвид факта, че променливите ${ displaystyle s}$ и ${ displaystyle t}$ не зависят един от друг.
   • Използвайки това правило, е лесно да се намери трансформацията на функции като ${ displaystyle t ^ {2} cos 2t}$, без повторно интегриране по части:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {t ^ {2} cos 2t } = { frac {{mathrm {d} ^ {2}} { mathrm {d} s ^ {2}}} { frac {s} {s ^ {2} +4}} = { frac {2s ^ {3} -24s} {(s ^ {2} +4) ^ {3}}}}$
3. 3 Намерете преобразуването на Лаплас на функцията е(аT){ displaystyle f (at)}. Това може да стане лесно, като замените променливата с u, като използвате дефиницията на трансформация:
   • ${ displaystyle { start {align} { mathcal {L}} {f (at) } & = int _ {0} ^ { infty} f (at) e ^ {- st} mathrm { d} t, u = при & = { frac {1} {a}} int _ {0} ^ { infty} f (u) e ^ {- su / a} mathrm {d } u & = { frac {1} {a}} F наляво ({ frac {s} {a}} надясно) end {подравнено}}}$
   • По -горе открихме преобразуването на функциите на Лаплас ${ displaystyle sin at}$ и ${ displaystyle cos at}$ директно от експоненциалната функция. Използвайки това свойство, можете да получите същия резултат, ако намерите реалните и въображаемите части ${ displaystyle { mathcal {L}} {e ^ {it} } = { frac {1} {s-i}}}$.
4. 4 Намерете преобразуването на Лаплас на производната е′(T){ displaystyle f ^ { prime} (t)}. За разлика от предишните примери, в този случай трябва интегрирайте парче по парче:
   • ${ displaystyle { start {align} { mathcal {L}} {f ^ { prime} (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f ^ { prime} (t ) e ^ {- st} mathrm {d} t, u = e ^ {- st}, mathrm {d} v = f ^ { prime} (t) mathrm {d} t & = f (t) e ^ {- st} Big _ {0} ^ { infty} + s int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm {d } t & = sF (s) -f (0) end {подравнено}}}$
   • Тъй като втората производна се среща в много физически проблеми, ние намираме и преобразуването на Лаплас за нея:
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ { prime prime} (t) } = s ^ {2} F (s) -sf (0) -f ^ { prime} (0) }$
   • В общия случай преобразуването на Лаплас на производната от n -ти ред се определя по следния начин (това позволява решаване на диференциални уравнения с помощта на преобразуването на Лаплас):
     • ${ displaystyle { mathcal {L}} {f ^ {(n)} (t) } = s ^ {n} F (s) - sum _ {k = 0} ^ {n -1} s ^ {nk-1} f ^ {(k)} (0)}$

Част 3 от 3: Намиране на преобразуването на Лаплас чрез разширяване на серията

1. 1 Нека намерим преобразуването на Лаплас за периодична функция. Периодичната функция удовлетворява условието ${ displaystyle f (t) = f (t + nT),}$ където ${ displaystyle T}$ е периодът на функцията и ${ displaystyle n}$ е положително цяло число. Периодичните функции се използват широко в много приложения, включително обработка на сигнали и електротехника. Използвайки прости трансформации, получаваме следния резултат:
   • ${ displaystyle { start {align} { mathcal {L}} {f (t) } & = int _ {0} ^ { infty} f (t) e ^ {- st} mathrm { d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {nT} ^ {(n + 1) T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} int _ {0} ^ {T} f (t + nT) e ^ {- s (t + nT)} mathrm {d} t & = sum _ {n = 0} ^ { infty} e ^ {- snT} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t & = { frac {1} {1-e ^ {- sT}}} int _ {0} ^ {T} f (t) e ^ {- st} mathrm {d} t end { подравнено}}}$
   • Както можете да видите, в случай на периодична функция е достатъчно да се извърши преобразуването на Лаплас за един период.
2. 2 Извършете преобразуването на Лаплас за естествения логаритъм. В този случай интегралът не може да се изрази под формата на елементарни функции. Използването на гама функцията и нейното серийно разширение ви позволява да оцените естествения логаритъм и неговите степени. Наличието на константата на Ойлер-Маскерони ${ displaystyle gamma}$ показва, че за да се оцени този интеграл, е необходимо да се използва разширение на серия.
   • ${ displaystyle { mathcal {L}} { ln t } = - { frac {{гама + ln s} {s}}}$
3. 3 Помислете за преобразуването на Лаплас на ненормализираната функция sinc. Функция ${ displaystyle име на оператор {sinc} (t) = { frac {{sin t} {t}}}$ широко използван за обработка на сигнали, в диференциални уравнения е еквивалентен на сферичната функция на Бесел от първи вид и нулев ред ${ displaystyle j_ {0} (x).}$ Преобразуването на Лаплас на тази функция също не може да бъде изчислено по стандартни методи. В този случай се извършва преобразуването на отделни членове от поредицата, които са степенни функции, така че техните трансформации задължително се сближават на даден интервал.
   • Първо, пишем разширението на функцията в поредица на Тейлър:
     • ${ displaystyle { frac { sin t} {t}} = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n} t ^ {2n}} {(2n +1)!}}}$
   • Сега използваме вече познатото преобразуване на Лаплас на степенна функция. Факторите се отменят и в резултат получаваме разширението на Тейлър за арктангенса, тоест променлив ред, който прилича на поредицата на Тейлър за синуса, но без факториали:
     • ${ displaystyle { start {align} { mathcal {L}} left {{ frac { sin t} {t}} right } & = sum _ {n = 0} ^ { infty } { frac {(-1) ^ {n} (2n)!} {(2n + 1)!}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {2n + 1}} { frac {1} {s ^ {2n + 1}}} & = тен ^ {- 1} { frac {1} {s}} end {подравнено}}}$