Съдържание

• Стъпки
• Метод 1 от 2: Алгебричен метод
• Метод 2 от 2: Графичен метод
• Съвети
• Предупреждение

Функциите могат да бъдат четни, нечетни или общи (тоест нито четни, нито нечетни). Видът на функцията зависи от наличието или отсъствието на симетрия. Най -добрият начин да определите вида на функцията е да извършите поредица от алгебрични изчисления. Но видът на функцията може да се установи и по нейния график. Научавайки се как да дефинирате вида на функциите, можете да предвидите поведението на определени комбинации от функции.

Стъпки

Метод 1 от 2: Алгебричен метод

1. 1 Помнете какви са противоположните стойности на променливите. В алгебрата обратната стойност на променлива се записва със знак „-“ (минус). Освен това, това е вярно за всяко обозначение на независимата променлива (с буквата ${ displaystyle x}$ или всяко друго писмо). Ако в оригиналната функция вече има отрицателен знак пред променливата, тогава нейната противоположна стойност ще бъде положителна променлива. По -долу са дадени примери за някои от променливите и техните противоположни значения:
   • Обратното значение за ${ displaystyle x}$ е ${ displaystyle -x}$.
   • Обратното значение за ${ displaystyle q}$ е ${ displaystyle -q}$.
   • Обратното значение за ${ displaystyle -w}$ е ${ displaystyle w}$.
2. 2 Заменете обяснителната променлива с нейната противоположна стойност. Тоест, обърнете знака на независимата променлива. Например:
   • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ превръща се в ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
   • ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$ превръща се в ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
   • ${ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$ превръща се в ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$.
3. 3 Опростете новата функция. На този етап не е необходимо да заменяте конкретни числови стойности за независимата променлива. Просто трябва да опростите новата функция f (-x), за да я сравните с оригиналната функция f (x). Помнете основното правило на степенуване: увеличаването на отрицателна променлива до четна степен ще доведе до положителна променлива, а повишаването на отрицателна променлива до нечетна степен ще доведе до отрицателна променлива.
   • ${ displaystyle f (-x) = 4 (-x) ^ {2} -7}$
     • ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$
   • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x) ^ {5} -2 (-x)}$
     • ${ displaystyle g (-x) = 5 (-x ^ {5}) + 2x}$
     • ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$
   • ${ displaystyle h (-x) = 7 (-x) ^ {2} +5 (-x) +3}$
     • ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$
4. 4 Сравнете двете функции. Сравнете опростената нова функция f (-x) с оригиналната функция f (x). Запишете съответните термини на двете функции една под друга и сравнете техните знаци.
   • Ако знаците на съответните термини на двете функции съвпадат, тоест f (x) = f (-x), първоначалната функция е четна. Пример:
     • ${ displaystyle f (x) = 4x ^ {2} -7}$ и ${ displaystyle f (-x) = 4x ^ {2} -7}$.
     • Тук знаците на термините съвпадат, така че първоначалната функция е четна.
   • Ако знаците на съответните термини на двете функции са противоположни един на друг, тоест f (x) = -f (-x), първоначалната функция е четна. Пример:
     • ${ displaystyle g (x) = 5x ^ {5} -2x}$, но ${ displaystyle g (-x) = - 5x ^ {5} + 2x}$.
     • Обърнете внимание, че ако умножите всеки термин в първата функция с -1, получавате втората функция. По този начин първоначалната функция g (x) е нечетна.
   • Ако новата функция не съвпада с някой от горните примери, това е обща функция (тоест нито четна, нито нечетна). Например:
     • ${ displaystyle h (x) = 7x ^ {2} + 5x + 3}$, но ${ displaystyle h (-x) = 7x ^ {2} -5x + 3}$... Знаците на първите членове на двете функции са еднакви, а знаците на вторите членове са противоположни. Следователно тази функция не е нито четна, нито нечетна.

Метод 2 от 2: Графичен метод

1. 1 Начертайте графика на функцията. За да направите това, използвайте графична хартия или графичен калкулатор. Изберете произволно число от стойностите на числовата обяснителна променлива ${ displaystyle x}$ и ги включете във функцията, за да изчислите стойностите на зависимата променлива ${ displaystyle y}$... Начертайте намерените координати на точките в координатната равнина и след това свържете тези точки, за да изградите графика на функцията.
   • Заменете положителните числови стойности във функцията ${ displaystyle x}$ и съответните отрицателни числови стойности. Например, като се има предвид функцията ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$... Включете следните стойности ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 2 (1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... Имам точка с координати ${ displaystyle (1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (2) = 2 (2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... Имам точка с координати ${ displaystyle (2.9)}$.
     • ${ displaystyle f (-1) = 2 (-1) ^ {2} + 1 = 2 + 1 = 3}$... Имам точка с координати ${ displaystyle (-1,3)}$.
     • ${ displaystyle f (-2) = 2 (-2) ^ {2} + 1 = 2 (4) + 1 = 8 + 1 = 9}$... Имам точка с координати ${ displaystyle (-2,9)}$.
2. 2 Проверете дали графиката на функцията е симетрична спрямо оста y. Симетрията се отнася до дублирането на диаграмата около оста на ординатите. Ако частта от графиката вдясно от оста y (положителна обяснителна променлива) съвпада с частта от графиката вляво от оста y (отрицателни стойности на обяснителната променлива), графиката е симетрична около оста y. Ако функцията е симетрична спрямо ординатата, функцията е четна.
   • Можете да проверите симетрията на графиката по отделни точки. Ако стойността ${ displaystyle y}$което съответства на стойността ${ displaystyle x}$, съответства на стойността ${ displaystyle y}$което съответства на стойността ${ displaystyle -x}$, функцията е четна.В нашия пример с функцията ${ displaystyle f (x) = 2x ^ {2} +1}$ имаме следните координати на точки:
     • (1.3) и (-1.3)
     • (2.9) и (-2.9)
   • Обърнете внимание, че когато x = 1 и x = -1, зависимата променлива е y = 3, а когато x = 2 и x = -2, зависимата променлива е y = 9. Така че функцията е четна. Всъщност, за да разберете точната форма на функция, трябва да вземете предвид повече от две точки, но описаният метод е добро приближение.
3. 3 Проверете дали графиката на функцията е симетрична спрямо произхода. Началото е точката с координати (0,0). Симетрията относно произхода означава, че положителна стойност ${ displaystyle y}$ (с положителна стойност ${ displaystyle x}$) съответства на отрицателна стойност ${ displaystyle y}$ (с отрицателна стойност ${ displaystyle x}$), и обратно. Нечетните функции са симетрични по отношение на произхода.
   • Ако заменим няколко положителни и съответстващи отрицателни стойности във функцията ${ displaystyle x}$, стойности ${ displaystyle y}$ ще се различават по знак. Например, като се има предвид функцията ${ displaystyle f (x) = x ^ {3} + x}$... Заменете няколко стойности в него ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {3} + 1 = 1 + 1 = 2}$... Имам точка с координати (1,2).
     • ${ displaystyle f (-1) = (- 1) ^ {3} + (- 1) =- 1-1 = -2}$... Имаме точка с координати (-1, -2).
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {3} + 2 = 8 + 2 = 10}$... Имам точка с координати (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (- 2) ^ {3} + (- 2) =- 8-2 = -10}$... Имаме точка с координати (-2, -10).
   • По този начин f (x) = -f (-x), тоест функцията е нечетна.
4. 4 Проверете дали графиката на функцията има някаква симетрия. Последният тип функция е функция, чиято графика няма симетрия, тоест няма огледално отразяване както по оста на ординатите, така и около началото. Например, като се има предвид функцията ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$.
   • Заместете няколко положителни и съответни отрицателни стойности във функцията ${ displaystyle x}$:
     • ${ displaystyle f (1) = 1 ^ {2} +2 (1) + 1 = 1 + 2 + 1 = 4}$... Имам точка с координати (1,4).
     • ${ displaystyle f (-1) = (-1) ^ {2} +2 (-1) + (-1) = 1-2-1 = -2}$... Имаме точка с координати (-1, -2).
     • ${ displaystyle f (2) = 2 ^ {2} +2 (2) + 2 = 4 + 4 + 2 = 10}$... Имам точка с координати (2,10).
     • ${ displaystyle f (-2) = (-2) ^ {2} +2 (-2) + (-2) = 4-4-2 = -2}$... Имаме точка с координати (2, -2).
   • Според получените резултати няма симетрия. Стойностите ${ displaystyle y}$ за противоположни стойности ${ displaystyle x}$ не съвпадат и не са противоположни. По този начин функцията не е нито четна, нито нечетна.
   • Обърнете внимание, че функцията ${ displaystyle f (x) = x ^ {2} + 2x + 1}$ може да се напише така: ${ displaystyle f (x) = (x + 1) ^ {2}}$... Когато е написана в тази форма, функцията изглежда четна, защото има четен показател. Но този пример доказва, че видът на функцията не може да бъде бързо определен, ако независимата променлива е затворена в скоби. В този случай трябва да отворите скобите и да анализирате получените показатели.

Съвети

• Ако показателят на независимата променлива е четен, тогава функцията е четна; ако показателят е нечетен, функцията е нечетна.

Предупреждение

• Тази статия може да се приложи само към функции с две променливи, чиито стойности могат да бъдат нанесени в координатната равнина.