Анализирайте квадратните уравнения във фактори - Съвети

Видео: Математика| Разложение квадратного трехчлена на множители.

Съдържание

Стъпки
Съвети
От какво имаш нужда

В математиката, фактор анализ е да се намерят числа или изрази с произведението на дадено число или уравнение. Факторният анализ е полезно умение за решаване на основни алгебрични проблеми: способността за добро разлагане на фактори е почти критична, когато става въпрос за работа. с алгебрични уравнения или други полиномиални форми. Факторният анализ може да се използва за намаляване на алгебричните изрази, което прави проблема по-опростен. Благодарение на него можете дори да премахнете някои възможни отговори много по-бързо, отколкото да решавате на ръка.

Стъпки

Метод 1 от 3: Анализирайте числата и основните алгебрични изрази във фактори

Разберете дефиницията на факторния анализ при прилагане на единични числа. Макар и концептуално просто, на практика прилагането на сложни уравнения може да бъде доста предизвикателно. Следователно най-лесният концептуален подход за анализ на фактора е да се започне от единични числа и след това да се премине към прости уравнения, преди да се пристъпи към по-напреднали приложения. Фактор за дадено число са числа с произведението на същото число. Например 1, 12, 2, 6, 3 и 4 са фактори на 12, защото 1 × 12, 2 × 6 и 3 × 4 са равни на 12.
- С други думи, факторите на дадено число са числа е разделен с този номер.
- Можете ли да намерите пълния коефициент 60? Числото 60 се използва за много различни цели (минути в час, секунди в минута и т.н.), защото се дели на много числа.
  - Числото 60 има следните фактори: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60.
Разберете, че изразите, съдържащи променливи, също могат да бъдат факторизирани. Освен независими числа, променливи с аритметични коефициенти също могат да бъдат факторизирани. За да направим това, просто трябва да намерим факторите на коефициента на променливата. Познаването на факторизиране на анализа е много полезно при прости трансформиране на алгебрични уравнения, които съдържат променливи.
- Например 12x може да се пренапише, за да бъде резултат от 12 и x. Възможно е да напишете 12x като 3 (4x), 2 (6x) и т.н., и да използвате какъвто и да е фактор, който най-добре отговаря на предвиденото използване на 12.
  - Можете дори да стигнете до 12x анализ много пъти. С други думи, няма нужда да се спираме на 3 (4x) или 2 (6x) - можем да анализираме 4x и 6x, за да получим 3 (2 (2x) 2 (3 (2x)) съответно. Тази формула е еквивалентна.
Прилагайте асоциативни свойства на умножението за разлагане на алгебрични уравнения на фактори. Използвайки вашите познания за анализиране на независими числа и коефициенти във фактори, можете да опростите прости алгебрични уравнения, като намерите общи фактори на числата и променливите, включени в уравнението. Често, за да бъде уравнението възможно най-просто, ще се опитаме да намерим най-големия общ делител. Тази проста трансформация е възможна благодарение на асоциативния характер на умножението - за всяко число a, b и c имаме: a (b + c) = ab + ac.
- Нека разгледаме следния примерен проблем. За да разделим алгебричното уравнение 12x + 6 във фактор, първо, намираме най-големия общ делител на 12x и 6. 6 е най-голямото число, на което 12x и 6 се делят, така че можем да преобразуваме поотделно. намалете уравнението до 6 (2x + 1).
- Същият процес се прилага за уравнения, които носят отрицателни знаци и дроби. Например x / 2 + 4 може просто да се преобразува в 1/2 (x + 8), а -7x + -21 може да се разложи на -7 (x + 3).
реклама

Метод 2 от 3: Анализ на квадратни уравнения във фактори

Уверете се, че уравнението е в квадратна форма (ax + bx + c = 0). Квадратното уравнение има формата ax + bx + c = 0, където a, b и c са константи, а a е ненулева (имайте предвид, че a може е равно на 1 или -1). Ако уравнението с една променлива (x) съдържа един или повече членове, които съдържат квадрата на x, обикновено можете да преобразувате основния алгебричен оператор от едната страна на знака за равенство в 0 и да оставите ax и т.н. от друга страна.
- Например алгебричното уравнение 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 може да бъде намалено до x + 6x + 9 = 0, което е квадратна форма.
- Уравнения, в които x има по-висока степен, като x, x и т.н. не може да бъде квадратично. Те са квадратни, квадратни, ... освен ако уравнението не може да бъде намалено чрез премахване на членове, които съдържат степента на 3 или повече от x.
С квадратни уравнения, когато a = 1, се разлагаме на (x + d) (x + e), където d × e = c и d + e = b. Ако квадратното уравнение е под формата x + bx + c = 0 (с други думи, ако коефициентът на x = 1), има възможност (но не е сигурно), че можем да използваме относително бързо изчисление. е лесно да се раздели това уравнение. Намерете две числа, равни на c и сумата е равна на b. След като намерите d и e, заменете ги със следния израз: (x + d) (x + e). Когато се умножат заедно, тези два елемента ни дават квадратното уравнение по-горе - с други думи, те са фактори на уравнението.
- Вземете например квадратното уравнение x + 5x + 6 = 0. 3 и 2 имат произведение 6 и в същото време имат общо 5. Следователно можем просто да преобразуваме уравнението в (x + 3) ( x + 2).
- Това основно бързо решение ще бъде малко по-различно, когато самото уравнение е малко по-различно:
  - Ако квадратното уравнение е под формата x-bx + c, отговорът ви ще бъде във формата: (x - _) (x - _).
  - Ако е под формата x + bx + c, вашият отговор ще бъде: (x + _) (x + _).
  - Ако е в x-bx-c, отговорът ви ще бъде във формата (x + _) (x - _).
- Забележка: в интервалите могат да бъдат дробни или десетични знаци. Например уравнението x + (21/2) x + 5 = 0 се разлага на (x + 10) (x + 1/2).
Ако е възможно, направете анализ на фактора чрез тестване. Вярвате или не, с несложното квадратно уравнение един от приетите методи за факторизация е просто да се разгледа проблемът и след това да се претеглят всички възможни отговори, докато верен отговор. Известен е и като метод за изпитване.Ако уравнението има формата ax + bx + c и a> 1, вашият факторен анализ ще има формата (dx +/- _) (ex +/- _), където d и e са константи другият не е равен на a. d или e (или и двете) може е равно на 1, въпреки че няма да е задължително. Ако и двете са равни на 1, по същество бихте използвали показаната по-горе бърза работа.
- Обмислете следния примерен проблем. На пръв поглед 3x - 8x + 4 изглежда доста плашещо. След като осъзнаете обаче, че 3 има само два фактора (3 и 1), проблемът става по-лесен, защото знаем, че отговорът трябва да бъде във формата (3x +/- _) (x +/- _). В този случай заместването на -2 в двете интервали дава верния отговор. -2 × 3x = -6x и -2 × x = -2x. -6x и -2x общо, равно на -8x. -2 × -2 = 4, следователно може да се види, че елементите, анализирани в скоби, ни дават първоначалното уравнение.
Решете задачата, като попълните квадрата. В някои случаи квадратните уравнения могат да бъдат умножени бързо и лесно, като се използва специална алгебрична идентичност. Всяко квадратно уравнение на формата x + 2xh + h = (x + h). Следователно, ако в уравнението b е два пъти по-голям от квадратния корен на c, уравнението може да бъде разложено на (x + (sqrt (c))).
- Уравнението x + 6x + 9 би работило например за тази форма. 3 е равно на 9, а 3 × 2 е равно на 6. Така че знаем, че факторизационната форма на това уравнение е (x + 3) (x + 3), или (x + 3).
Решаване на квадратни уравнения с фактори. Така или иначе, след като квадратният израз е факторизиран, можете да намерите възможен отговор на стойността на x, като дадете нула на всеки фактор и го решите. Тъй като търсите стойността на x такава, че уравнението да е нула, всяко x, което причинява фактор да бъде нула, ще бъде възможното решение на това уравнение.
- Върнете се към уравнението x + 5x + 6 = 0. Това се разлага на (x + 3) (x + 2) = 0. Когато един фактор е нула, цялото уравнение става нула. Възможните решения на x са числата, които правят (x + 3) и (x + 2) равни на 0, -3 и -2, съответно.
Проверете отговорите си - някои може да са екзотични! Когато намерите възможни решения на x, заменете ги с оригиналното уравнение, за да определите дали са правилни или не. Понякога отговорът го намира няма проблем причинява първоначалното уравнение да бъде нула при замяна. Ние наричаме тези решения Екзотично и ги премахнете.
- Нека заменим -2 и -3 за x + 5x + 6 = 0. Първо, -2:
  - (-2) + 5(-2) + 6 = 0
  - 4 + -10 + 6 = 0
  - 0 = 0. Да, значи -2 е валидно решение на уравнението.
- Сега, нека опитаме с -3:
  - (-3) + 5(-3) + 6 = 0
  - 9 + -15 + 6 = 0
  - 0 = 0. Това също е вярно и следователно -3 също е валидно решение на уравнението.
реклама

Метод 3 от 3: Анализирайте други видове уравнения във фактори

Ако уравнението е във формата a-b, разложете го до (a + b) (a-b). Анализираното уравнение с две променливи се различава от основното квадратно уравнение. Всяко уравнение a-b, в което a и b са ненулеви, ще бъде разложено на (a + b) (a-b).
- Например уравнението 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y).
Ако уравнението е под формата a + 2ab + b, разложете го до (a + b). Имайте предвид, че ако триномът е във формата a-2ab + b, разделителната форма ще се различава леко: (a-b).
- Уравнения 4x + 8xy + 4y могат да бъдат пренаписани като 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y. Сега виждаме, че е в правилната форма и можем уверено да кажем, че факторизационната форма на това уравнение е (2x + 2y).
Ако уравнението е във формата a-b, разложете го до (a-b) (a + ab + b). И накрая, трябва да се каже, че тройни уравнения и дори уравнения от по-висок ред могат да бъдат разложени на фактори. Процесът на анализ обаче бързо ще стане изключително сложен.
- Например 8x - 27y се разлага на (2x - 3y) (4x + ((2x) (3y)) + 9y)
реклама

Съвети

a-b може да се раздели на фактори, а a + b не.
Имайте предвид как да факторизираме константи - може да е полезно.
Обърнете внимание на фракциите в процеса на факторизиране, боравете с тях правилно и по подходящ начин.
С тризъбеца x + bx + (b / 2) факторизацията му ще бъде (x + (b / 2)) (може да срещнете тази ситуация, докато попълвате квадрата).
Не забравяйте, че a0 = 0 (свойство, умножено по нула).