Формулиране на математически доказателства

Видео: Слабое место математики: можно ли доказать всё, что истинно? [Veritasium]

Съдържание

Стъпвам
Метод 1 от 3: Разбиране на проблема
Метод 2 от 3: Структуриране на доказателство
Метод 3 от 3: Формулиране на доказателствата
Съвети

Математическите доказателства могат да бъдат трудни, но с правилното познаване на математиката и структурата на доказателство със сигурност можете да ги формулирате успешно. За съжаление няма бърз и лесен начин да се научите как да събирате доказателства. Нуждаете се от солидна основа в знанията си по предмета, за да излезете с правилните тези и дефиниции за логично развитие на вашите доказателства. Четейки примери и практикувайки себе си, ще можете да овладеете уменията за математическа проверка.

Стъпвам

Метод 1 от 3: Разбиране на проблема

Разберете въпроса. Първо трябва да определите какво точно се опитвате да докажете. Този въпрос ще служи и като финална теза на доказателствата. В тази стъпка ще определите и предположенията, с които ще работите. Идентифицирането на въпроса и направата на необходимите предположения ви дава отправна точка за разбиране на проблема и разработване на доказателства.
Начертайте диаграми. Когато се опитвате да разберете вътрешната работа на математически проблем, понякога е най-лесно да начертаете диаграма на случващото се. Графиките са особено важни при геометричните доказателства, защото ви позволяват да визуализирате това, което всъщност искате да докажете.
- Използвайте информацията, предоставена в проблема, за да нарисувате картина на доказателствата. Назовете имената на познатите и непознатите.
- Когато обработвате доказателствата, използвайте необходимата информация в подкрепа на доказателствата.
Проучете доказателства за свързани теореми. Трудно е да се научим да изграждаме доказателства, но отличен начин да научим това е да проучим свързани твърдения и как те са доказани.
- Осъзнайте, че доказателството е само добър аргумент, при който всяка стъпка е обоснована. Можете да намерите много доказателства за изучаване, както онлайн, така и в учебник.
Задавайте въпроси. Съвсем нормално е да заседнеш в доказателство. Попитайте вашия учител или съученици, ако не можете да разберете. Последният може да има подобни въпроси и можете да работите заедно по въпросите. По-добре е да задавате въпроси и след това да разбирате, отколкото да се разхождате сляпо през доказателствата.
- Консултирайте се с вашия учител след час за допълнително обяснение.

Метод 2 от 3: Структуриране на доказателство

Определете математически доказателства. Математическото доказателство е набор от логически твърдения, подкрепени от теореми и дефиниции, които доказват коректността на друго математическо твърдение. Доказателствата са единственият начин да разберем дали дадено твърдение е математически валидно.
- Възможността да се формулира математическо доказателство показва фундаментално разбиране на самия проблем и на всички концепции, участващи в проблема.
- Доказателствата също така ви принуждават да погледнете на математиката по нов и вълнуващ начин. Само опитването да докажете нещо ще ви даде повече знания и прозрение за това, дори ако вашите доказателства не изглеждат правилни в крайна сметка.
Познайте аудиторията си. Преди да напишете доказателство, трябва да помислите за аудиторията, за която го пишете, и за това, което те вече знаят. Ако напишете доказателство за публикация, ще го направите по различен начин, отколкото за гимназиален клас.
- Познаването на вашата аудитория ви позволява да формулирате доказателствата по начин, който тя ще разбере, като се има предвид количеството основни познания, които аудиторията има.
Разберете вида на доказателствата, които представяте. Има няколко различни вида доказателства и този, който изберете, зависи от вашата целева аудитория и заданието. Ако не сте сигурни коя версия да използвате, попитайте учителя си за съвет. В гимназията може да се очаква да формулирате доказателствата в определен формат, като официално доказателство в две колони.
- Доказателство с две колони е структура, при която данните и твърденията се поставят в една колона, а подкрепящите доказателства до нея - във втора колона. Те много често се използват в геометрията.
- Неофициалното доказателство за абзаци използва граматически правилни твърдения и по-малко символи. На по-високо ниво винаги трябва да използвате неофициално доказателство.
Напишете доказателството в две колони като общ преглед. Структурирането на доказателство в две колони е лесен начин да организирате мислите си и да разгледате проблема. Начертайте линия в центъра на страницата и напишете всички данни и изявления вляво. Напишете съответните дефиниции / твърдения вдясно, до данните, които поддържат.
- Например:
- Ъгъл А и ъгъл В образуват линейна двойка. Дадено.
- Ъгъл ABC е прав. Определение на прав ъгъл.
- Ъгъл ABC е 180 °. Определение на линия.
- Ъгъл A + ъгъл B = ъгъл ABC. Постулат за добавяне на ъгли.
- Ъгъл A + ъгъл B = 180 °. Заместване.
- Ъгъл А като допълнение към ъгъл Б. Определение на допълнителни ъгли.
- Q.E.D.
Преобразувайте доказателството в две колони в неофициално доказателство. Въз основа на доказателството в две колони напишете неофициално доказателство като абзац без твърде много символи и съкращения.
- Да кажем например, че ъгъл А и В са линейни двойки. Хипотезата е, че ъгъл А и ъгъл В се допълват (допълват се). Ъгъл А и ъгъл В образуват права линия, защото са линейни двойки. Правата линия се определя като ъгъл от 180 °. Като се има предвид постулатът за добавяне на ъгли, ъгли A и B заедно образуват линията ABC. Като заместване A и B заедно са 180 °, следователно те са допълнителни ъгли. Q.E.D.

Метод 3 от 3: Формулиране на доказателствата

Научете речника на математическите доказателства. Има определени твърдения и изречения, които непрекъснато виждате в математическо доказателство. Това са фразите, с които трябва да сте запознати и да можете да ги използвате добре, когато формулирате собствените си доказателства.
- „Ако A, тогава B“ означава, че трябва да покажете, че ако A е вярно, B също трябва да е вярно.
- „A, ако и само ако B“ означава, че трябва да докажете, че A и B са едновременно истина и грешка. Докажете и "Ако A, тогава B" и "ако не A, тогава не B".
- „A само ако B“ означава същото като „Ако A, тогава B“, така че не се използва често. Добре е да сте наясно с това, когато попаднете на това.
- Когато правите доказателства, трябва да избягвате да използвате „аз“ в полза на „ние“.
Запишете всички данни. Когато съставяте доказателство, първата стъпка е да се идентифицират и запишат всички данни. Това е най-доброто място за започване, тъй като ще ви помогне да помислите какво е известно и каква информация ви е необходима, за да попълните доказателствата. Прочетете проблема и запишете всяка информация.
- Например: Докажете, че два ъгъла, образуващи линейна двойка (ъгъл A и ъгъл B), се допълват.
- Дадено: ъгъл А и ъгъл В образуват линейна двойка
- Доказателство: ъгъл A е допълнение към ъгъл B.
Дефинирайте всички променливи. В допълнение към записването на данните е полезно да дефинирате всички променливи. Напишете определенията в началото на доказателствата, за да избегнете объркване за читателя. Ако променливите не са дефинирани, читателят лесно може да се изгуби, опитвайки се да разбере вашите доказателства.
- Не използвайте в доказателството си променливи, които все още не са дефинирани.
- Например: Променливите са мерките на ъгъл A и ъгъл B.
Работете назад чрез доказателствата. Често е най-лесно да мислите назад за даден проблем. Започнете със заключението, какво се опитвате да докажете, и помислете за стъпките, които могат да ви върнат в началото.
- Редактирайте стъпките в началото и края, за да видите дали са подобни. Използвайте данните, дефинициите, които сте научили, и подобни доказателства.
- Задавайте си въпроси по пътя. „Защо е така?“ И „Има ли някакъв начин това да е невярно?“ Има ли добри въпроси за всяко твърдение или твърдение.
- Не забравяйте да напишете стъпките последователно за окончателното доказателство.
- Например: Ако ъглите A и B са допълващи, тогава те заедно трябва да са 180 °. Двата ъгъла заедно образуват линията ABC. Знаете, че те образуват права поради дефиницията на линейни двойки. Тъй като права линия е 180 °, можете да използвате заместване, за да докажете, че ъгъл A и ъгъл B се събират до 180 °.
Поставете стъпките си в логичен ред. Започнете доказателствата в началото и продължете до заключението. Въпреки че е полезно да мислите за доказателствата, като започнете със заключението и работите назад, когато представяте действителните доказателства, ще поставите заключението в края. Изявленията в доказателствата трябва да произтичат едно от друго, с обосновка за всяко твърдение, така че да няма причина да се съмнявате в валидността на вашите доказателства.
- Започнете, като изброите предположенията, с които работите.
- Разделете ги на прости и ясни стъпки, така че читателят да не трябва да се чуди как една стъпка логично протича от друга.
- Не е необичайно да се формулират множество доказателства за концепцията. Продължавайте да пренареждате, докато всички стъпки са в най-логичния ред.
- Например: започнете в началото.
  - Ъгъл А и ъгъл В образуват линейна двойка.
  - Ъгъл ABC е прав.
  - Ъгъл ABC е 180 °.
  - Ъгъл A + ъгъл B = ъгъл ABC.
  - Ъгъл A + ъгъл B = 180 °.
  - Ъгъл А допълва ъгъла В.
Избягвайте да използвате стрелки и съкращения в писмените доказателства. Когато очертавате плана за вашето доказателство, можете да използвате стенография и символи, но когато пишете окончателното доказателство, символи, като стрелките, могат да объркат читателя. Вместо това използвайте думи като „тогава“ или „така“.
- Изключения за използване на съкращения са: например (например) и т.е. (т.е.), но се уверете, че ги използвате правилно.
Подкрепете всички твърдения с теорема (теорема), закон или дефиниция. Доказателствата са толкова добри, колкото и използваните доказателства. Не можете да направите изявление, без да го обосновате с определение. Вижте други подобни доказателства като пример.
- Опитайте се да приложите своите доказателства в случай, когато невярно трябва да бъде и проверете дали това всъщност е така. Ако резултатът не е невярен, коригирайте доказателството, така че да е.
- Много геометрични доказателства са написани като доказателство в две колони, с изявлението и доказателството. Официално математическо доказателство, предназначено за публикуване, е написано като параграф с правилна граматика.
Завършете със заключение или Q.E.D. Последното доказателство трябва да бъде хипотезата, която се опитвахте да докажете. След като направите това изявление, затворете доказателството с последен символ, като Q.E.D. или плътен квадрат, за да покаже, че доказателството е пълно.
- Q.E.D. означава „quod erat demonstrandum“ (на латински „това, което трябваше да бъде доказано“).
- Ако не сте сигурни дали вашите доказателства са верни, просто напишете с няколко изречения какво е вашето заключение и защо е важно.