Съдържание

• Стъпвам
• Метод 1 от 2: Извличане на корен с основни фактори
• Метод 2 от 2: Намиране на квадратни корени без калкулатор
• С дълго разделяне
• Разберете процедурата
• Съвети
• Предупреждения

Преди появата на калкулаторите, както учениците, така и преподавателите трябваше да изчисляват квадратни корени с химикал и хартия. По това време бяха разработени различни техники за справяне с тази понякога трудна работа, някои от които дават груба оценка, а други изчисляват точната стойност. Прочетете, за да научите как да намерите квадратния корен на число в няколко лесни стъпки.

Стъпвам

Метод 1 от 2: Извличане на корен с основни фактори

1. Разделете номера си на фактори на мощността. Този метод използва факторите на число, за да намери квадратния корен на число (в зависимост от броя, това може да бъде точен отговор или оценка). The фактори на дадено число са всяка последователност от числа, които се умножават заедно, за да образуват това конкретно число. Например можете да кажете, че факторите 8 са равни на 2 и 4, защото 2 × 4 = 8. Перфектните квадрати, от друга страна, са цели числа, които са произведение на други цели числа. Например 25, 36 и 49 са перфектни квадрати, защото са равни съответно на 5, 6 и 7. Вторите коефициенти на мощност, както ще разберете, са фактори, които също са перфектни квадрати. За да намерите квадратен корен, използвайки прости множители, първо се опитайте да разделите числото на вторите му коефициенти на степен.
   • Вземете следния пример. Ще намерим квадратния корен от 400. Като начало разделяме броя на фактори на мощността. Тъй като 400 е кратно на 100, знаем, че се дели равномерно на 25 - идеален квадрат. Quick rote ни казва, че 400/25 = 16,16 също се оказва идеален квадрат. Факторите на куба от 400 са 25 и 16 защото 25 × 16 = 400.
   • Записваме това като: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
2. Вземете квадратните корени на вторите си фактори на мощност. Правилото за произведение на квадратни корени гласи, че за всяко дадено число а и б, Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Поради това свойство вече можем да вземем квадратните корени на квадратите и да ги умножим заедно, за да получим отговора.
   • В нашия пример вземаме квадратните корени на 25 и 16. Вижте по-долу:
     • Sqrt (25 × 16)
     • Sqrt (25) × Sqrt (16)
     • 5 × 4 = 20
3. Ако вашият номер не може да бъде съобразен перфектно, опростете го. В действителност числата, от които искате да определите квадратните корени, няма да бъдат хубави закръглени числа с хубави квадратчета като 400. В тези случаи може да не е възможно да получите цяло число като отговор. Вместо това, използвайки всички фактори на мощността, които можете да намерите, можете да определите отговора като по-малък, по-лесен за използване квадратен корен. Можете да направите това, като намалите броя до комбинация от фактори на мощността и други фактори и след това го опростите.
   • Вземаме за пример квадратния корен от 147. 147 не е произведение на два перфектни квадрата, така че не можем да получим хубава целочислена стойност. Но това е произведение на перфектен квадрат и друго число - 49 и 3. Можем да използваме тази информация, за да напишем отговора си с най-прости думи:
     • Sqrt (147)
     • = Sqrt (49 × 3)
     • = Sqrt (49) × Sqrt (3)
     • = 7 × Sqrt (3)
4. Опростете, ако е необходимо. Използвайки квадратния корен с най-прости думи, обикновено е доста лесно да се получи груба оценка на отговора, като се изчислят останалите квадратни корени и се умножат. Един от начините да подобрите вашите предположения е да намерите перфектните квадрати от двете страни на числото във вашия квадратен корен. Знаете, че десетичната стойност на числото във вашия квадратен корен е някъде между тези две числа, така че предположението ви също ще трябва да бъде между тези числа.
   • Да се ​​върнем към нашия пример. Тъй като 2 = 4 и 1 = 1, знаем, че Sqrt (3) е между 1 и 2 - вероятно по-близо до 2 от 1. Ние смятаме, че 1.7. 7 × 1,7 = 11,9. Ако проверим това с калкулатора, виждаме, че сме доста близо до отговора: 12,13.
     • Това работи и за по-големите числа. Например sqrt (35) е приблизително между 5 и 6 (вероятно по-близо до 6). 5 = 25 и 6 = 36,35 е между 25 и 36, така че квадратният корен ще бъде между 5 и 6. Тъй като 35 е малко под 36, можем да кажем с известна увереност, че квадратният корен от него просто е по-малко от 6. Проверката с калкулатор ни дава отговор от около 5,92 - бяхме прави.
5. Като първа стъпка можете да опростите номера до най-малко общо кратно. Търсенето на фактори на мощността не е необходимо, ако можете лесно да намерите прости множители на число (фактори, които са и прости числа едновременно). Запишете числото чрез най-малко често срещаните кратни. След това търсете между вашите фактори за съвпадение на двойки прости числа. Когато намерите два основни фактора, които съвпадат, премахнете ги от квадратния корен и поставете а от тези числа извън знака на квадратния корен.
   • Например, ние определяме квадратния корен от 45, използвайки този метод. Знаем, че 45 = 9 × 5 и че 9 = 3 × 3. Така че можем да напишем квадратния корен по следния начин: Sqrt (3 × 3 × 5). Просто изтрийте трите и поставете тройка извън квадратния корен, за да получите опростен квадратен корен: (3) Sqrt (5). Сега можете лесно да направите оценка.
   • Последен пример; определяме квадратния корен от 88:
     • Sqrt (88)
     • = Sqrt (2 × 44)
     • = Sqrt (2 × 4 × 11)
     • = Sqrt (2 × 2 × 2 × 11). Имаме няколко 2 в нашия квадратен корен. Тъй като 2 е първоначално, можем да премахнем чифт и да поставим 2 извън корена.
     • = Нашият квадратен корен с най-прости думи е (2) Sqrt (2 × 11) или (2) Sqrt (2) Sqrt (11). Сега можем да се обърнем към Sqrt (2) и Sqrt (11) и да намерим приблизителен отговор, ако искаме.

Метод 2 от 2: Намиране на квадратни корени без калкулатор

С дълго разделяне

1. Разделете цифрите на номера си на двойки. Този метод е подобен на дългото разделяне, което ви позволява да разделите точно квадратен корен от число цифра по цифра. Макар и да не е от съществено значение, разбиването на число на работещи парчета може да улесни решаването, особено ако е дълго. Първо нарисувайте вертикална линия, разделяща работната зона на 2 зони, след това по-къса линия в горната част на дясната зона, разделяйки я на по-малка горна част и по-голяма част отдолу. След това разделете числото на двойки числа, започвайки от десетичната запетая. Съгласно това правило 79520789182.47897 става „7 95 20 78 91 82.47 89 70“. Напишете този номер в горната лява област.
   • Като пример, нека изчислим квадратния корен от 780.14. Разделете работното си място, както по-горе, и напишете "7 80, 14" в горния ляв ъгъл. Добре е, че вляво има само едно число, вместо две. След това пишете отговора (квадратния корен от 780.14) в горната част на дясната област.
2. Намерете най-голямото цяло число н чийто квадрат е по-малък или равен на най-лявата цифра или число. Намерете най-големия квадрат, който е по-малък или равен на това число, и след това намерете корен квадратен от този квадрат. Този номер е н. Напишете това в горната дясна област и напишете квадрата на n в долния квадрант на тази област.
   • В нашия пример най-лявата цифра е числото 7. Тъй като знаем, че 2 = 4 ≤ 7 3 = 9, можем да кажем, че n = 2, защото това е най-голямото цяло число, чийто квадрат е по-малък или равен на 7. Напишете 2 в горния десен квадрант. Това е първата цифра на отговора. Напишете 4 (квадрат 2) в долния десен квадрант. Този номер е важен за следващата стъпка.
3. Извадете изчисленото от вас число от най-лявата цифра или число. Както при дългото деление, следващата стъпка е да извадим квадрата от числото, което току-що използвахме за изчислението. Напишете това число под най-левия номер и ги извадете. Напишете отговора по-долу.
   • В нашия пример пишем 4 под 7 и го изваждаме. Това дава 3 в отговор.
4. Преместете следващото число надолу. Поставете това до стойността, която сте намерили в предишната редакция. Умножете числото горе вдясно по две и го запишете долу долу вдясно. Оставете място до числото, което току-що сте записали, за сумата, която ще направите в следващата стъпка. Напишете тук "_ × _ =" ".
   • В нашия пример следващото число е "80". Напишете "80" до 3 в левия квадрант. След това умножете числото горе вдясно по 2. Това число е 2, така че 2 × 2 = 4. Запишете "" 4 "" долу вдясно, последвано от _×_=.
5. Въведете цифрите отдясно. В празното място на сумата (вдясно) въведете най-голямото цяло число, което ще направи резултата от сумата за умножение вдясно по-малък или равен на текущото число вляво.
   • В нашия пример въвеждаме 8 и това дава 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Това е по-голямо от 380. Значи 8 е твърде голямо, но 7 вероятно не е. Попълнете 7 и решете: 4 (7) × 7 = 329. 7 е добре, защото 329 е по-малко от 380. Напишете 7 горе вдясно. Това е втората цифра в квадратния корен от 780.14.
6. Извадете току-що изчисленото число от текущото число вляво. Така че изваждате резултата от умножението вдясно от текущия отговор вляво. Напишете отговора си точно под него.
   • В нашия пример изваждаме 329 от 380 и това дава 51 като резултат.
7. Повторете стъпка 4. Преместете следващата двойка числа надолу от 780.14. Когато стигнете до запетая, напишете тази запетая в отговора вдясно. След това умножете горното дясно число по 2 и напишете отговора до ("_ × _") както по-горе.
   • В отговора си сега пишем запетая, защото също срещаме това в 780.14. Преместете следващата двойка (14) надолу по левия квадрант. 27 x 2 = 54, така че в долния десен квадрант пишем "54 _ × _ =".
8. Повторете стъпки 5 и 6. Намерете най-голямото число, което дава отговор, който е по-малък или равен на текущото число вляво. Решете.
   • В нашия пример 549 × 9 = 4941, което е по-малко или равно на числото вляво (5114). 549 × 10 = 5490, което е твърде високо, така че 9 е нашият отговор. Напишете 9 като следващото горно дясно число и извадете резултата от умножението от лявото число: 5114 -4941 = 173.
9. За да направите резултата точен, повторете предишната процедура, докато намерите отговора с броя на десетичните знаци (стотни, хилядни), от които се нуждаете.

Разберете процедурата

1. Помислете за числото, чийто квадратен корен искате да изчислите като площ S на един квадрат. Тъй като площта на един квадрат е L, където L е дължината на една от страните му, така че като намерите квадратния корен от вашето число, вие се опитвате да изчислите дължината L на страната на този квадрат.
2. Дайте на всяка цифра от отговора си писмо. Въведете променливата A като първата цифра на L (квадратния корен, който се опитваме да изчислим). B е втората цифра, C третата и т.н.
3. Дайте буква на всяка „двойка числа“ от номера, с който започвате. Дайте променливата S_а до първата двойка цифри в S (началната стойност), S._б до втората двойка цифри и т.н.
4. Разберете връзката между този метод и дългото разделяне. Този метод за намиране на квадратен корен по същество е дълго разделение, при което разделяте първоначалната стойност на квадратния корен и "давате" квадратния корен като отговор. Както при дългото разделяне, когато се интересувате само от следващата цифра в даден момент, вие се интересувате само от следващите две цифри в даден момент (които съответстват на следващата цифра от квадратния корен).
5. Намерете най-голямото число, чийто квадрат е по-малък или равен на S._а е. Тогава първата цифра А в нашия отговор е най-голямото цяло число, чийто квадрат не е по-голям от S._а (Такъв, че A² ≤ Sa (A + 1) ²). В нашия пример S_а = 7 и 2² ≤ 7 3², така че A = 2.
   • Имайте предвид, че ако разделите 88962 на 7 с помощта на дълго деление, първата стъпка е равна: първо се справяте с първата цифра от 88962 (8) и искате най-голямата цифра, умножена по 7, която е по-малка или равна на 8. По същество вие определи д така че 7 × d ≤ 8 7 × (d + 1). В този случай d е равно на 1.
6. Визуализирайте квадрата, на който искате да намерите площта. Вашият отговор, квадратен корен от първоначалната стойност, е L, което описва дължината на квадрат с площ S (началната стойност). Стойностите за A, B и C представляват цифрите в стойността L. Друг начин да се каже това е, че за двуцифрен отговор 10A + B = L и за трицифрен отговор 100A + 10B + C = L и т.н.
   • В нашия пример (10A + B) ² = L = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Не забравяйте, че 10A + B представлява нашия отговор L заедно с B в позицията на единиците и A в позицията на десетките. Например, ако A = 1 и B = 2, тогава 10A + B е числото 12. (10A + B) ² е площта на целия квадрат, докато 100A² е площта на най-големия вътрешен квадрат, B² е площта на най-малкия квадрат и 10A × B е площта на всеки от останалите правоъгълници. Чрез тази дълга, сложна процедура можем да намерим площта на целия квадрат, като добавим областите на квадратите и правоъгълниците, които са част от него.
7. Извадете A² от S._а. Донесете чифт числа (S._б) надолу от числото S. S._а С._б е почти общата площ на квадрата, от която току-що сте извадили площта на най-големия вътрешен квадрат. Остатъкът е, да речем, числото N1, което получихме в стъпка 4 (N1 = 380 в нашия пример). N1 е равно на 2 × 10A × B + B² (площта на 2 правоъгълника плюс площта на малкия квадрат).
8. Погледнете N1 = 2 × 10A × B + B², записан също като N1 = (2 × 10A + B) × B. В нашия пример вече знаете N1 (380) и A (2), така че сега трябва да намерите B. B вероятно не е цяло число, така че трябва всъщност намери най-голямото цяло число B, такова че (2 × 10A + B) × B ≤ N1. И така, сега имате: N1 (2 × 10A + (B + 1)) × (B + 1).)
9. Решете уравнението. За да решите това уравнение, умножете A по 2, преместете го в десет (умножете по 10), поставете B в мерните единици и умножете резултата по B. С други думи, (2 × 10A + B) × B. Това е точно това, което правите, когато пишете "N_ × _ =" (с N = 2 × A) в долния десен квадрант в стъпка 4. В стъпка 5 определяте най-голямото цяло число B, което се вписва под линията, така че (2 × 10A + B) × B ≤ N1.
10. Извадете площта (2 × 10A + B) × B от общата площ. Това дава площта S- (10A + B) ², която все още не сте взели под внимание (и която използвате, за да изчислите следващите числа по същия начин).
11. За да изчислите следващата цифра C, повторете процедурата. Преместете следващата двойка числа от S надолу (S_{° С}), за да получите N2 вляво и потърсете най-голямото C, така че сега да имате: (2 × 10 × (10A + B) + C) × C ≤ N2 (равно на двукратно последваното двуцифрено число "AB" от "_ × _ =" Сега определете най-голямото число, което можете да въведете тук, което ще ви даде отговор, който е по-малък или равен на N2.

Съвети

• Преместването на запетая с две места (коефициент 100) премества запетаята в съответния квадратен корен с едно място (коефициент 10).
• В примера 1,73 може да се счита за „остатък“: 780,14 = 27,9² + 1,73.
• Този метод работи за всяка бройна система, не само за десетичната (десетичната) система.
• Чувствайте се свободни да поставите изчисленията, където искате. Някои хора го пишат над числото, от което искат да изчислят квадратния корен.
• Алтернативен метод е следният: √z = √ (x ^ 2 + y) = x + y / (2x + y / (2x + y / (2x + ...))). Например, за да изчислите квадратния корен от 780,14, вземете цялото число, чийто квадрат е най-близо до 780,14 (28), така че = 780,14, x = 28 и y = -3,86. Попълването и оценката ни дават x + y / (2x) и това дава (опростени условия) 78207/2800 или около 27.931 (1); следващият термин, 4374188/156607 или около 27.930986 (5). Всеки термин добавя около 3 десетични знака с точност към предишния.

Предупреждения

• Не забравяйте да разделите числото на двойки от десетичната запетая. Разделяйки 79520789182.47897 като "79 52 07 89 18 2,4 78 97 "дава неправилен резултат.