Съдържание

• Стъпки
• Част 1 от 3: Транспонирайте матрицата
• Част 2 от 3: Свойства на транспониране
• Част 3 от 3: Ермитова конюгирана матрица със сложни елементи
• Съвети

Ако научите как да транспонирате матрици, ще имате по -добро разбиране за тяхната структура. Може би вече знаете за квадратните матрици и тяхната симетрия, за да ви помогне да овладеете транспонирането. Наред с други неща, транспонирането помага за трансформиране на вектори в матрична форма и намиране на векторни продукти. Когато работите със сложни матрици, ермитово-конюгираните (конюгирано-транспонирани) матрици могат да ви помогнат при решаването на различни проблеми.

Стъпки

Част 1 от 3: Транспонирайте матрицата

1. 1 Вземете всяка матрица. Всяка матрица може да бъде транспонирана, независимо от броя на редовете и колоните. Най -често е необходимо да се транспонират квадратни матрици, които имат еднакъв брой редове и колони, така че за по -простота, помислете за следната матрица като пример:
   • матрицата А =
     1  2  3
     4  5  6
     7  8  9
2. 2 Представете си първия ред на директна матрица като първата колона на транспонираната матрица. Просто напишете първия ред като колона:
   • транспонирана матрица = A
   • първа колона на матрица А:
     1
     2
     3
3. 3 Направете същото за останалите редове. Вторият ред на оригиналната матрица ще стане втората колона на транспонираната матрица. Преведете всички редове в колони:
   • А =
     1  4  7
     2  5  8
     3  6  9
4. 4 Опитайте се да транспонирате неквадратична матрица. Всяка правоъгълна матрица може да бъде транспонирана по същия начин. Просто напишете първия ред като първа колона, втория ред като втора колона и т.н. В примера по -долу всеки ред от оригиналната матрица е маркиран със собствен цвят, за да стане по -ясно как се трансформира при транспониране:
   • матрицата Z =
     4  7  2  1
     3  9  8  6
   • матрицата Z =
     4  3
     7  9
     2  8
     1  6
5. 5 Нека изразим транспонирането под формата на математическа нотация. Въпреки че идеята за транспониране е много проста, най -добре е да я запишете като строга формула. Матричната нотация не изисква специални термини:
   • Да предположим, че е дадена матрица B, състояща се от м х н елементи (m редове и n колони), тогава транспонираната матрица B е набор от н х м елементи (n реда и m колони).
   • За всеки елемент b_xy (ред х и колона y) на матрицата B в матрицата B съществува еквивалентен елемент b_yx (ред y и колона х).

Част 2 от 3: Свойства на транспониране

1. 1 (М = М. След двойно транспониране се получава оригиналната матрица. Това е доста очевидно, тъй като при повторно транспониране отново променяте редовете и колоните, което води до първоначалната матрица.
2. 2 Огледайте матрицата около главния диагонал. Квадратните матрици могат да бъдат „обърнати“ спрямо главния диагонал. Освен това елементите по главния диагонал (от a₁₁ до долния десен ъгъл на матрицата) остават на място, а останалите елементи се преместват от другата страна на този диагонал и остават на същото разстояние от него.
   • Ако ви е трудно да си представите този метод, вземете лист хартия и нарисувайте матрица 4х4. След това пренаредете страничните му елементи спрямо главния диагонал. В същото време проследете елементите a₁₄ и а₄₁... Когато се транспонират, те трябва да бъдат разменени, както другите двойки странични елементи.
3. 3 Транспонирайте симетричната матрица. Елементите на такава матрица са симетрични спрямо главния диагонал. Ако направите горната операция и „обърнете“ симетричната матрица, тя няма да се промени. Всички елементи ще се променят на подобни. Всъщност това е стандартният начин да се определи дали дадена матрица е симетрична. Ако важи равенството A = A, тогава матрицата A е симетрична.

Част 3 от 3: Ермитова конюгирана матрица със сложни елементи

1. 1 Помислете за сложна матрица. Елементите на сложна матрица са съставени от реални и въображаеми части. Такава матрица също може да бъде транспонирана, въпреки че в повечето практически приложения се използват конюгирани-транспонирани или ермитово-конюгирани матрици.
   • Нека бъде дадена матрица C =
     2+i     3-2i
     0+i     5+0i
2. 2 Заменете елементите със сложни спрегнати числа. При операцията на сложно спрягане реалната част остава същата, а въображаемата част променя знака си на обратното. Нека направим това с всичките четири елемента на матрицата.
   • намери комплексната конюгирана матрица C * =
     2-i     3+2i
     0-i     5-0i
3. 3 Транспонираме получената матрица. Вземете намерената сложна конюгирана матрица и просто я транспонирайте. В резултат на това получаваме конюгатно транспонирана (ермитско-конюгирана) матрица.
   • конюгираната транспонирана матрица C =
     2-i        0-i
     3+2i     5-0i

Съвети

• В тази статия транспонираната матрица по отношение на матрицата А се обозначава като А. Има и обозначението A 'или Ã.
• В тази статия ермитово-конюгираната матрица по отношение на матрицата A се обозначава като A, което е обща нотация в линейната алгебра. В квантовата механика често се използва обозначението A.Понякога ермитовата конюгирана матрица се записва под формата A *, но е по -добре да се избягва тази нотация, тъй като тя се използва и за писане на сложна конюгирана матрица.