Съдържание

• Стъпки
• Метод 1 от 3: Как да решим кубично уравнение без постоянен член
• Метод 2 от 3: Как да намерите цели корени с помощта на множители
• Метод 3 от 3: Как да решим уравнение с помощта на дискриминанта

В кубично уравнение най -високият показател е 3, такова уравнение има 3 корена (решения) и има формата ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... Някои кубични уравнения не са толкова лесни за решаване, но ако приложите правилния метод (с добра теоретична основа), можете да намерите корените дори на най -сложното кубично уравнение - за това използвайте формулата за решаване на квадратното уравнение, намерете цели корени или изчислете дискриминанта.

Стъпки

Метод 1 от 3: Как да решим кубично уравнение без постоянен член

1. 1 Разберете дали има свободен член в кубичното уравнение д{ displaystyle d}. Кубичното уравнение има формата ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$... За да се счита уравнението за кубично, е достатъчно само членът ${ displaystyle x ^ {3}}$ (тоест може изобщо да няма други членове).
   • Ако уравнението има свободен член ${ displaystyle d}$, използвайте различен метод.
   • Ако в уравнението ${ displaystyle a = 0}$, не е кубичен.
2. 2 Извадете от скобите х{ displaystyle x}. Тъй като в уравнението няма свободен член, всеки член в уравнението включва променливата ${ displaystyle x}$... Това означава, че един ${ displaystyle x}$ могат да бъдат изключени от скоби за опростяване на уравнението. Така уравнението ще бъде записано така: ${ displaystyle x (брадва ^ {2} + bx + c)}$.
   • Например, като се има предвид кубично уравнение ${ displaystyle 3x ^ {3} -2x ^ {2} + 14x = 0}$
   • Извеждам ${ displaystyle x}$ скоби и да получите ${ displaystyle x (3x ^ {2} -2x + 14) = 0}$
3. 3 Разложете (произведението на два бинома) квадратното уравнение (ако е възможно). Много квадратни уравнения на формата ${ displaystyle ax ^ {2} + bx + c = 0}$ може да се факторизира. Такова уравнение ще се окаже, ако го извадим ${ displaystyle x}$ извън скобите. В нашия пример:
   • Извадете от скобите ${ displaystyle x}$: ${ displaystyle x (x ^ {2} + 5x-14) = 0}$
   • Умножете квадратното уравнение: ${ displaystyle x (x + 7) (x-2) = 0}$
   • Приравнете всеки кош към ${ displaystyle 0}$... Корените на това уравнение са ${ displaystyle x = 0, x = -7, x = 2}$.
4. 4 Решете квадратно уравнение, като използвате специална формула. Направете това, ако квадратното уравнение не може да бъде факторизирано. За да намерите два корена на уравнение, стойностите на коефициентите ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ заместител във формулата ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$.
   • В нашия пример заменете стойностите на коефициентите ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ (${ displaystyle 3}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle 14}$) във формулата:

     ${ displaystyle { frac {-b pm { sqrt {b ^ {2} -4ac}}} {2a}}}$

     ${ displaystyle { frac {- (- 2) pm { sqrt {((-2) ^ {2} -4 (3) (14)}}} {2 (3)}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {4- (12) (14)}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {(4-168}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 pm { sqrt {-164}}} {6}}}$

   • Първи корен:

     ${ displaystyle { frac {2 + { sqrt {-164}}} {6}}}$

     ${ displaystyle { frac {2 + 12,8i} {6}}}$

   • Втори корен:

     ${ displaystyle { frac {2-12,8i} {6}}}$

5. 5 Използвайте нулеви и квадратни корени като решения на кубичното уравнение. Квадратните уравнения имат два корена, докато кубичните имат три. Вече сте намерили две решения - това са корените на квадратното уравнение. Ако поставите „x“ извън скобите, третото решение ще бъде ${ displaystyle 0}$.
   • Ако извадите "x" от скобите, получавате ${ displaystyle x (брадва ^ {2} + bx + c) = 0}$, тоест два фактора: ${ displaystyle x}$ и квадратно уравнение в скоби. Ако някой от тези фактори е ${ displaystyle 0}$, цялото уравнение също е равно на ${ displaystyle 0}$.
   • По този начин два корена на квадратно уравнение са решения на кубично уравнение. Третото решение е ${ displaystyle x = 0}$.

Метод 2 от 3: Как да намерите цели корени с помощта на множители

1. 1 Уверете се, че в кубичното уравнение има свободен термин д{ displaystyle d}. Ако в уравнение на формата ${ displaystyle ax ^ {3} + bx ^ {2} + cx + d = 0}$ има безплатен член ${ displaystyle d}$ (което не е равно на нула), няма да работи поставянето на „x“ извън скобите. В този случай използвайте метода, описан в този раздел.
   • Например, като се има предвид кубично уравнение ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x = -6}$... За да получите нула от дясната страна на уравнението, добавете ${ displaystyle 6}$ от двете страни на уравнението.
   • Уравнението ще се окаже ${ displaystyle 2x ^ {3} + 9x ^ {2} + 13x + 6 = 0}$... Като ${ displaystyle d = 6}$, описаният в първия раздел метод не може да се използва.
2. 2 Запишете коефициентите на коефициента а{ displaystyle a} и безплатен член д{ displaystyle d}. Тоест, намерете факторите на числото при ${ displaystyle x ^ {3}}$ и числата преди знака за равенство. Припомнете си, че факторите на числото са числата, които, когато се умножат, произвеждат това число.
   • Например, за да получите номера 6, трябва да умножите ${ displaystyle 6 пъти 1}$ и ${ displaystyle 2 пъти 3}$... Така че цифрите 1, 2, 3, 6 са фактори на броя 6.
   • В нашето уравнение ${ displaystyle a = 2}$ и ${ displaystyle d = 6}$... Множители 2 са 1 и 2... Множители 6 са числата 1, 2, 3 и 6.
3. 3 Разделете всеки фактор а{ displaystyle a} за всеки фактор д{ displaystyle d}. В резултат на това получавате много дроби и няколко цели числа; корените на кубичното уравнение ще бъдат едно от целите числа или отрицателната стойност на едно от целите числа.
   • В нашия пример разделете факторите ${ displaystyle a}$ (1 и 2) по фактори ${ displaystyle d}$ (1, 2, 3 и 6). Ще получите: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$ и ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$... Сега добавете отрицателни стойности на получените дроби и числа към този списък: ${ displaystyle 1}$, ${ displaystyle -1}$, ${ displaystyle { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {2}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {3}}}$, ${ displaystyle { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle - { frac {1} {6}}}$, ${ displaystyle 2}$, ${ displaystyle -2}$, ${ displaystyle { frac {2} {3}}}$ и ${ displaystyle - { frac {2} {3}}}$... Целите корени на кубичното уравнение са някои числа от този списък.
4. 4 Включете цели числа в кубичното уравнение. Ако равенството е вярно, заместеното число е коренът на уравнението. Например заменете в уравнението ${ displaystyle 1}$:
   • ${ displaystyle 2 (1) ^ {3} +9 (1) ^ {2} +13 (1) +6}$ = ${ displaystyle 2 + 9 + 13 + 6}$ ≠ 0, тоест равенството не се спазва. В този случай включете следващия номер.
   • Заместител ${ displaystyle -1}$: ${ displaystyle (-2) +9 +(- 13) +6}$ = 0. Така, ${ displaystyle -1}$ е целият корен на уравнението.
5. 5 Използвайте метода за разделяне на полиноми по Схема на Хорнерза по -бързо намиране на корените на уравнението. Направете това, ако не искате ръчно да замествате числата в уравнението. В схемата на Хорнер целите числа са разделени на стойностите на коефициентите на уравнението ${ displaystyle a}$, ${ displaystyle b}$, ${ displaystyle c}$ и ${ displaystyle d}$... Ако числата са равномерно делими (т.е. остатъкът е ${ displaystyle 0}$), цяло число е коренът на уравнението.
   • Схемата на Хорнер заслужава отделна статия, но следното е пример за изчисляване на един от корените на нашето кубично уравнение, използвайки тази схема:

     -1 | 2 9 13 6

     __| -2-7-6

     __| 2 7 6 0

   • Така че остатъкът е ${ displaystyle 0}$, но ${ displaystyle -1}$ е един от корените на уравнението.

Метод 3 от 3: Как да решим уравнение с помощта на дискриминанта

1. 1 Запишете стойностите на коефициентите на уравнението а{ displaystyle a}, б{ displaystyle b}, ° С{ displaystyle c} и д{ displaystyle d}. Препоръчваме ви предварително да запишете стойностите на посочените коефициенти, за да не се объркате в бъдеще.
   • Например, като се има предвид уравнението ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$... Записвам ${ displaystyle a = 1}$, ${ displaystyle b = -3}$, ${ displaystyle c = 3}$ и ${ displaystyle d = -1}$... Припомнете си, че ако преди ${ displaystyle x}$ няма число, съответният коефициент все още съществува и е равен на ${ displaystyle 1}$.
2. 2 Изчислете нулевия дискриминант, като използвате специална формула. За да решите кубично уравнение с помощта на дискриминанта, трябва да извършите редица трудни изчисления, но ако изпълните всички стъпки правилно, този метод ще стане незаменим за решаването на най -сложните кубични уравнения. Първо изчисление ${ displaystyle Delta _ {0}}$ (нулева дискриминация) е първата стойност, от която се нуждаем; за да направите това, заменете съответните стойности във формулата ${ displaystyle Delta _ {0} = b ^ {2} -3ac}$.
   • Дискриминантът е число, характеризиращо корените на полином (например дискриминантът на квадратно уравнение се изчислява по формулата ${ displaystyle b ^ {2} -4ac}$).
   • В нашето уравнение:

     ${ displaystyle b ^ {2} -3ac}$

     ${ displaystyle (-3) ^ {2} -3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-3 (1) (3)}$

     ${ displaystyle 9-9 = 0 = Delta _ {0}}$

3. 3 Изчислете първия дискриминант, като използвате формулата Δ1=2б3−9аб° С+27а2д{ displaystyle Delta _ {1} = 2b ^ {3} -9abc + 27a ^ {2} d}. Първи дискриминант ${ displaystyle Delta _ {1}}$ - това е втората важна стойност; за да го изчислите, включете съответните стойности в посочената формула.
   • В нашето уравнение:

     ${ displaystyle 2 (-3) ^ {3} -9 (1) (- 3) (3) +27 (1) ^ {2} (- 1)}$

     ${ displaystyle 2 (-27) -9 (-9) +27 (-1)}$

     ${ displaystyle -54 + 81-27}$

     ${ displaystyle 81-81 = 0 = Delta _ {1}}$

4. 4 Изчисли:${ displaystyle Delta = ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div -27a ^ {2}}$... Тоест, намерете дискриминанта на кубичното уравнение чрез получените стойности ${ displaystyle Delta _ {0}}$ и ${ displaystyle Delta _ {1}}$... Ако дискриминантът на кубично уравнение е положителен, уравнението има три корена; ако дискриминантът е нула, уравнението има един или два корена; ако дискриминантът е отрицателен, уравнението има един корен.
   • Кубичното уравнение винаги има поне един корен, тъй като графиката на това уравнение пресича оста X поне в една точка.
   • В нашето уравнение ${ displaystyle Delta _ {0}}$ и ${ displaystyle Delta _ {1}}$ са равни ${ displaystyle 0}$, така че можете лесно да изчислите ${ displaystyle Delta}$:

     ${ displaystyle ( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) div (-27a ^ {2})}$

     ${ displaystyle ((0) ^ {2} -4 (0) ^ {3}) div (-27 (1) ^ {2})}$

     ${ displaystyle 0-0 div 27}$

     ${ displaystyle 0 = Delta}$... По този начин нашето уравнение има един или два корена.

5. 5 Изчисли:${ displaystyle C = ^ {3} { sqrt { вляво ({ sqrt { Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}}} + Delta _ {1 } вдясно) div 2}}}$. ${ displaystyle C}$ - това е последното важно количество, което може да се намери; ще ви помогне да изчислите корените на уравнението. Заменете стойностите в посочената формула ${ displaystyle Delta _ {1}}$ и ${ displaystyle Delta _ {0}}$.
   • В нашето уравнение:

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {( Delta _ {1} ^ {2} -4 Delta _ {0} ^ {3}) + Delta _ {1}}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0 ^ {2} -4 (0) ^ {3}) + (0)}} div 2}}}$

     ${ displaystyle ^ {3} { sqrt {{ sqrt {(0-0) +0}} div 2}}}$

     ${ displaystyle 0 = C}$

6. 6 Намерете три корена на уравнението. Направете го с формулата ${ displaystyle - (b + u ^ {n} C + Delta _ {0} div (u ^ {n} C)) div 3a}$, където ${ displaystyle u = (- 1 + { sqrt {-3}}) div 2}$, но н е равно на 1, 2 или 3... Заменете подходящите стойности в тази формула - в резултат ще получите три корена на уравнението.
   • Изчислете стойността, като използвате формулата в н = 1, 2 или 3и след това проверете отговора. Ако получите 0, когато проверите отговора си, тази стойност е коренът на уравнението.
   • В нашия пример заместител 1 в ${ displaystyle x ^ {3} -3x ^ {2} + 3x -1}$ и вземете 0, т.е. 1 е един от корените на уравнението.