Как да разделим матриците

Видео: MOON in Telescop 336X Online ЛУНА ВИД В ТЕЛЕСКОП 04.2020 Subtitles translation

Съдържание

Кратко обобщение
Стъпки
Част 1 от 3: Тестване на делимостта на матриците
Част 2 от 3: Намиране на обратната матрица
Част 3 от 3: Матрично умножение
Съвети
Предупреждения
Допълнителни статии

Ако знаете как да умножите две матрици, можете да започнете да „разделяте“ матриците. Думата „разделяне“ е затворена в кавички, тъй като матриците всъщност не могат да бъдат разделени. Операцията за разделяне се заменя с операцията за умножаване на една матрица с матрица, която е обратна на втората матрица. За простота, помислете за пример с цели числа: 10 ÷ 5. Намерете реципрочното на 5: 5 или /₅, и след това заменете делението чрез умножение: 10 x 5; резултатът от делението и умножението ще бъде един и същ. Следователно се смята, че разделянето може да бъде заменено с умножение по обратната матрица. Обикновено такива изчисления се използват за решаване на системи от линейни уравнения.

Кратко обобщение

Не можете да разделяте матрици. Вместо разделяне, една матрица се умножава по обратната на втората матрица. "Разделяне" на две матрици [A] ÷ [B] се записва по следния начин: [A] * [B] или [B] * [A].
Ако матрицата [B] не е квадратна или ако нейният детерминант е 0, напишете „няма еднозначно решение“. В противен случай намерете детерминантата на матрицата [B] и преминете към следващата стъпка.
Намерете обратното: [B].
Умножете матрици, за да намерите [A] * [B] или [B] * [A]. Имайте предвид, че редът, по който матриците се умножават, влияе върху крайния резултат (тоест резултатите могат да варират).

Стъпки

Част 1 от 3: Тестване на делимостта на матриците

1 Разберете "разделянето" на матрици. Всъщност матриците не могат да бъдат разделени. Няма такава математическа операция като „разделяне на една матрица на друга“. Делението се заменя чрез умножаване на една матрица с обратната на втората матрица. Тоест означението [A] ÷ [B] не е правилно, затова се заменя със следното означение: [A] * [B]. Тъй като и двата записа са еквивалентни в случай на скаларни стойности, теоретично можем да говорим за "разделяне" на матрици, но все пак е по -добре да се използва правилната терминология.
- Обърнете внимание, че [A] * [B] и [B] * [A] са различни операции. Може да се наложи да извършите и двете операции, за да намерите всички възможни решения.
- Например, вместо ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} div { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ записвам ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} }$ .
  Може да се наложи да изчислите ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} ^ {- 1} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} }$ за да получите различен резултат.
2 Уверете се, че матрицата, с която „разделяте“ другата матрица, е квадратна. За да обърнете матрица (намерете обратната страна на матрица), тя трябва да бъде квадратна, тоест със същия брой редове и колони. Ако обърнатата матрица не е обратна, няма определено решение.
- Отново тук матриците не са "делими". В операция [A] * [B] описаното условие се отнася до матрицата [B]. В нашия пример това условие се отнася до матрицата ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$
- Матрица, която може да бъде обърната, се нарича неизродена или правилна. Матрица, която не може да бъде обърната, се нарича дегенеративна или единична.
3 Проверете дали двете матрици могат да бъдат умножени. За да се умножат две матрици, броят на колоните в първата матрица трябва да бъде равен на броя редове във втората матрица. Ако това условие не е изпълнено в записа [A] * [B] или [B] * [A], няма решение.
- Например, ако размерът на матрицата [A] е 4 x 3 и размерът на матрицата [B] е 2 x 2, няма решение. Не можете да умножите [A] * [B], защото 4 ≠ 2, и не можете да умножите [B] * [A], защото 2 ≠ 3.
- Обърнете внимание, че обратната матрица [B] винаги има същия брой редове и колони като оригиналната матрица [B]. Не е необходимо да се намира обратната матрица, за да се провери дали две матрици могат да бъдат умножени.
- В нашия пример размерът на двете матрици е 2 x 2, така че те могат да бъдат умножени в произволен ред.
4 Намерете определителя на матрицата 2 × 2. Запомнете: можете да обърнете матрица само ако нейната детерминанта не е нула (в противен случай не можете да обърнете матрицата). Ето как да намерите детерминантата на матрица 2 x 2:
- 2 x 2 матрица: детерминанта на матрица ${ displaystyle { begin {pmatrix} a & b c & d end {pmatrix}}}$ е равно на ad - bc. Тоест, от произведението на елементите на основния диагонал (преминава през горния ляв и долния десен ъгъл), извадете продуктите на елементите на другия диагонал (преминава през горния десен и долния ляв ъгъл).
- Например детерминантата на матрицата ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ е равен на (7) (3) - (4) (2) = 21 - 8 = 13. Детерминантата е ненулева, така че тази матрица може да бъде обърната.
5 Намерете определителя на по -голямата матрица. Ако размерът на матрицата е 3 x 3 или повече, определителят е малко по -труден за изчисляване.
- 3 x 3 матрица: изберете всеки елемент и зачеркнете реда и колоната, в които се намира.Намерете детерминантата на получената 2 × 2 матрица и след това я умножете по избрания елемент; посочете знака на определителя в специална таблица. Повторете този процес за другите два елемента, които са в същия ред или колона като избрания от вас елемент. След това намерете сумата от получените (три) детерминанти. Прочетете тази статия за повече информация как да намерите детерминантата на матрица 3 x 3.
- Големи матрици: детерминантата на такива матрици е най -добре да се търси с графичен калкулатор или софтуер. Методът е подобен на метода за намиране на детерминантата на матрица 3 × 3, но е доста досадно да се прилага ръчно. Например, за да намерите детерминантата на матрица 4 x 4, трябва да намерите детерминантите на четири матрици 3 x 3.
6 Продължете изчисленията. Ако матрицата не е квадратна или нейният детерминант е равен на нула, напишете „няма еднозначно решение“, тоест процесът на изчисление е завършен. Ако матрицата е квадратна и има ненулева детерминанта, преминете към следващия раздел.

Част 2 от 3: Намиране на обратната матрица

1 Разменете елементите на основния диагонал на матрицата 2 x 2. Като се има предвид матрица 2 × 2, използвайте бързия обратен метод. Първо разменете горния ляв елемент и долния десен елемент. Например:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$
- Забележка: повечето хора използват калкулатори, за да обърнат 3 x 3 (или по -голяма) матрица. Ако трябва да направите това ръчно, отидете в края на този раздел.
2 Не разменяйте останалите два елемента, а сменете знака им. Тоест, умножете горния десен елемент и долния ляв елемент по -1:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 2 & 7 end {pmatrix}}}$ → ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
3 Намерете реципрочното на детерминантата. Определителят на тази матрица е намерен в предишния раздел, така че няма да го изчисляваме отново. Обратното на детерминанта се записва по следния начин: 1 / (детерминанта):
- В нашия пример детерминантата е 13. Обратна стойност: ${ displaystyle { frac {1} {13}}}$ .
4 Получената матрица се умножава по реципрочната стойност на детерминантата. Умножете всеки елемент от новата матрица с обратната страна на детерминантата. Крайната матрица ще бъде обратна на оригиналната 2 x 2 матрица:
- ${ displaystyle { frac {1} {13}} * { begin {pmatrix} 3 & -4 - 2 & 7 end {pmatrix}}}$
  = ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$
5 Проверете дали изчисленията са верни. За да направите това, умножете оригиналната матрица по нейната обратна. Ако изчисленията са правилни, произведението на оригиналната матрица от обратната ще даде матрицата на идентичността: (1001){ displaystyle { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}... Ако тестът е успешен, преминете към следващия раздел.
- В нашия пример: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 7 & 4 2 & 3 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} 1 & 0 0 & 1 end {pmatrix}}}$ .
- За повече информация как да умножавате матрици, прочетете тази статия.
- Забележка: операцията на матричното умножение не е комутативна, тоест редът на матриците е важен. Но когато оригиналната матрица се умножи по нейната обратна, всеки ред води до матрицата на идентичността.
6 Намерете обратната страна на матрица 3 x 3 (или по -голям). Ако вече сте запознати с този процес, по -добре е да използвате графичен калкулатор или специален софтуер. Ако трябва да намерите обратната матрица ръчно, процесът е описан накратко по -долу:
- Присъединете се към матрицата за идентичност I от дясната страна на оригиналната матрица. Например, [B] → [B | Аз]. За матрицата на идентичността всички елементи на главния диагонал са равни на 1, а всички останали елементи са равни на 0.
- Опростете матрицата, така че лявата й страна да стане стъпаловидна; продължете да опростявате, така че лявата страна да стане матрица на идентичността.
- След опростяване матрицата ще приеме следната форма: [I | Б]. Тоест дясната му страна е обратна на оригиналната матрица.

Част 3 от 3: Матрично умножение

1 Запишете два възможни израза. Операцията по умножаване на два скалара е комутативна, тоест 2 x 6 = 6 x 2.Това не е така в случай на матрично умножение, така че може да се наложи да решите два израза:
- х = [A] * [B] е решението на уравнението х[B] = [A].
- х = [B] * [A] е решението на уравнението [B]х = [А].
- Изпълнете всяка математическа операция от двете страни на уравнението. Ако [A] = [C], тогава [B] [A] ≠ [C] [B], защото [B] е отляво на [A], но отдясно на [C].
2 Определете размера на крайната матрица. Размерът на крайната матрица зависи от размера на умножените матрици. Броят на редовете в крайната матрица е равен на броя на редовете в първата матрица, а броят на колоните в крайната матрица е равен на броя на колоните във втората матрица.
- В нашия пример размерът на двете матрици ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}}}$ и ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}}}$ е 2 x 2, така че размерът на оригиналната матрица ще бъде 2 x 2.
- Помислете за по -сложен пример: ако размерът на матрицата [A] е 4 x 3, а размерът на матрицата [B] е 3 x 3, тогава крайната матрица [A] * [B] ще бъде 4 x 3.
3 Намерете стойността на първия елемент. Прочетете тази статия или запомнете следните основни стъпки:
- За да намерите първия елемент (първи ред, първа колона) на крайната матрица [A] [B], изчислете точковото произведение на елементите от първия ред на матрицата [A] и елементите на първата колона на матрицата [B ]. В случай на матрица 2 x 2, точковото произведение се изчислява, както следва: ${ displaystyle a_ {1,1} * b_ {1,1} + a_ {1,2} * b_ {2,1}}$ .
- В нашия пример: ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}}}$ ... По този начин първият елемент от крайната матрица ще бъде елементът:
  ${ displaystyle (13 * { frac {3} {13}}) + (26 * { frac {-2} {13}})}$
  ${ displaystyle = 3 + -4}$
  ${ displaystyle = -1}$
4 Продължете да изчислявате точки, за да намерите всеки елемент от крайната матрица. Например, елементът, разположен във втория ред и първата колона, е равен на точковото произведение на втория ред на матрицата [A] и първата колона на матрицата [B]. Опитайте се сами да намерите останалите елементи. Трябва да получите следните резултати:
- ${ displaystyle { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} { 13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7} {13}} end {pmatrix}} = { start {pmatrix} -1 & 10 7 & -5 end {pmatrix}}}$
- Ако трябва да намерите друго решение: ${ displaystyle { begin {pmatrix} { frac {3} {13}} & { frac {-4} {13}} { frac {-2} {13}} & { frac {7 } {13}} end {pmatrix}} * { begin {pmatrix} 13 & 26 39 & 13 end {pmatrix}} = { begin {pmatrix} -9 & 2 19 & 3 край {pmatrix}}}$

Съвети

Матрицата може да бъде разделена на скаларна; за това всеки елемент от матрицата е разделен на скалар.
- Например, ако матрицата ${ displaystyle { begin {pmatrix} 6 & 8 2 & 4 end {pmatrix}}}$ разделено на 2, получавате матрицата ${ displaystyle { begin {pmatrix} 3 & 4 1 & 2 end {pmatrix}}}$

Предупреждения

Калкулаторът не винаги дава абсолютно точни резултати, когато става въпрос за матрични изчисления. Например, ако калкулаторът твърди, че елементът е много малък брой (например 2E), стойността най -вероятно е нула.