Съдържание

• Стъпвам
• Метод 1 от 3: Използване на метода на заместване
• Метод 2 от 3: Използване на метода за елиминиране
• Метод 3 от 3: Графирайте уравненията
• Съвети
• Предупреждения

В „система от уравнения“ се изисква да решавате две или повече уравнения едновременно. Когато тези две съдържат различни променливи, като x и y, или a и b, на пръв поглед може да бъде трудно да се види как да се разрешат. За щастие, след като знаете какво да правите, са ви необходими само някои основни математически умения (а понякога и частични знания), за да разрешите проблема. Ако е необходимо, или ако сте визуален студент, научете се и как да графирате уравненията. Графирането (начертаване) на графика може да бъде полезно, за да „видите какво се случва“ или да проверите работата си, но може да бъде и по-бавно от другите методи и не работи с всички системи за уравнения.

Стъпвам

Метод 1 от 3: Използване на метода на заместване

1. Преместете променливите в различни страни на уравнението. Този метод на "заместване" започва с "решаване на x" (или друга променлива) в едно от уравненията. Например имаме следните уравнения: 4x + 2y = 8 и 5x + 3x = 9. На първо място, разглеждаме първото сравнение. Пренаредете, като извадите 2y от всяка страна и получавате: 4x = 8-2y.
   • Този метод често използва дроби на по-късен етап. Можете също да използвате метода за елиминиране по-долу, ако предпочитате да не работите с фракции.
2. Разделете двете страни на уравнението, за да решите за "x". След като имате термина x (или каквато и да е променлива, която използвате) от едната страна на уравнението, разделете двете страни на уравнението, за да изолирате променливата. Например:
   • 4x = 8-2y
   • (4x) / 4 = (8/4) - (2y / 4)
   • x = 2 - ½y
3. Включете това обратно в другото уравнение. Не забравяйте да се върнете към Други сравнение, не това, което вече сте използвали. В това уравнение вие ​​замествате променливата, която сте решили, оставяйки само една променлива. Например:
   • Вече знаете, че: x = 2 - ½y.
   • Второто уравнение, което все още не сте променили, е: 5x + 3x = 9.
   • Във второто уравнение заменете x с "2 - ½y": 5 (2 - ½y) + 3y = 9.
4. Решете за останалата променлива. Вече имате уравнение само с една променлива. Използвайте общи техники за алгебра, за да решите тази променлива. Ако променливите се отменят взаимно, преминете към последната стъпка. В противен случай ще получите отговор на една от променливите си:
   • 5 (2 - ½y) + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + 3y = 9
   • 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Ако не разбирате тази стъпка, научете се как да добавяте дроби. Това е често, но не винаги, необходимо при този метод).
   • 10 + ½y = 9
   • ½y = -1
   • у = -2
5. Използвайте отговора за решаване на другата променлива. Не правете грешката да завършите проблема наполовина. Ще трябва да въведете отново отговора, който сте получили, в едно от оригиналните уравнения, за да можете да решите за другата променлива:
   • Вече знаете, че: у = -2
   • Едно от оригиналните уравнения е: 4x + 2y = 8. (И двете уравнения могат да се използват за тази стъпка).
   • Включете -2 вместо y: 4x + 2 (-2) = 8.
   • 4x - 4 = 8
   • 4x = 12
   • x = 3
6. Знаете какво да правите, ако и двете променливи се отменят взаимно. Когато ти x = 3y + 2 или получавате подобен отговор в другото уравнение, опитвате се да получите уравнение само с една променлива. Понякога вместо това получавате уравнение без променливи. Проверете отново работата си и не забравяйте да замените (пренареденото) първо уравнение във второто уравнение, а не първото уравнение. Ако сте сигурни, че не сте допуснали грешки, ще получите един от следните резултати:
   • Ако завършите с уравнение без променливи и което не е вярно (напр. 3 = 5), тогава имате проблема няма решение. (Ако сте нарисували уравненията, ще видите, че те са успоредни и никога не се пресичат).
   • Ако в крайна сметка получите уравнение без променливи, но такива добре е вярно (например 3 = 3), тогава той има проблема безкраен брой решения. Двете уравнения са точно равни. (Ако графично изобразите двете уравнения, ще видите, че те се припокриват точно).

Метод 2 от 3: Използване на метода за елиминиране

1. Определя променливата, която трябва да бъде премахната. Понякога уравненията ще се „елиминират“ взаимно в променлива веднага щом ги съберете. Например, когато правите уравненията 3x + 2y = 11 и 5x - 2y = 13 комбинира, "+ 2y" и "-2y" ще се отменят взаимно, като всички "ys се елиминират от уравнението. Погледнете уравненията във вашия проблем, за да разберете дали някоя от променливите ще бъде елиминирана по този начин. Ако нито една от променливите не е елиминирана, прочетете следващата стъпка за съвет.
2. Умножете уравнение, за да отмените променлива. (Пропуснете тази стъпка, ако променливите вече са се елиминирали). Ако никоя от променливите в уравненията не се отмени сама, тогава трябва да промените едно от уравненията, така че да го направи. Това е най-лесно да се разбере с пример:
   • Да предположим, че имате системата от уравнения 3x - y = 3 и -x + 2y = 4.
   • Нека променим първото уравнение, така че променливата да е у се елиминира. (Можете да направите това и за х направете и получите същия отговор).
   • The - y " от първото уравнение трябва да се елиминира с + 2г Във второто уравнение. Можем да направим това до - у умножете по 2.
   • Умножаваме двете страни на първото уравнение по 2, както следва: 2 (3x - y) = 2 (3), и по този начин 6x - 2y = 6. Сега ще - 2г отпадат срещу + 2г във второто уравнение.
3. Комбинирайте двете уравнения. За да можете да комбинирате две уравнения, добавете лявата и дясната страна заедно. Ако сте написали уравнението правилно, една от променливите трябва да се отмени спрямо другата. Ето пример, използващ същите уравнения като последната стъпка:
   • Вашите уравнения са: 6x - 2y = 6 и -x + 2y = 4.
   • Комбинирайте левите страни: 6x - 2y - x + 2y =?
   • Комбинирайте десните страни: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
4. Решаване на последната променлива. Опростете комбинираното уравнение и след това използвайте основната алгебра за решаване на последната променлива. Ако след опростяването не останат променливи, продължете към последната стъпка в този раздел. В противен случай трябва да завършите с прост отговор на една от вашите променливи. Например:
   • Ти имаш: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
   • Групирайте променливите х и у един с друг: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
   • Опростете: 5x = 10
   • Решаване на x: (5x) / 5 = 10/5, така че x = 2.
5. Решете за останалите променливи. Намерихте една променлива, но все още не сте приключили. Заменете отговора си в едно от оригиналните уравнения, за да можете да решите другата променлива. Например:
   • Ти знаеш това x = 2, и това едно от вашите първоначални уравнения 3x - y = 3 е.
   • Включете 2, вместо x: 3 (2) - y = 3.
   • Решете y в уравнението: 6 - у = 3
   • 6 - у + у = 3 + у, така 6 = 3 + у
   • 3 = у
6. Знаете какво да правите, когато и двете променливи се отменят взаимно. Понякога комбинирането на две уравнения води до уравнение, което няма значение или не ви помага да решите проблема. Проверете отново работата си от самото начало, но ако не сте сгрешили, запишете един от следните отговори:
   • Ако вашето комбинирано уравнение няма променливи и не е вярно (като 2 = 7), тогава има няма решение което важи и за двете уравнения. (Ако начертаете графично и двете уравнения, ще видите, че те са успоредни и никога не се пресичат).
   • Ако вашето комбинирано уравнение няма променливи и е вярно (като 0 = 0), тогава има безкраен брой решения. Двете уравнения всъщност са идентични. (Ако ги поставите в графика, ще видите, че те напълно се припокриват).

Метод 3 от 3: Графирайте уравненията

1. Използвайте този метод само когато е посочен. Освен ако не използвате компютър или графичен калкулатор, много системи от уравнения могат да бъдат приблизително решени само с помощта на този метод. Вашият учител или учебник по математика може да ви помоли да използвате този метод, така че вероятно сте запознати с графични уравнения като редове. Можете също да използвате този метод, за да проверите дали вашите отговори от някой от другите методи са верни.
   • Основната идея е да графирате двете уравнения и да определите точката, в която те се пресичат. Стойностите x и y в този момент дават стойността на x и стойността на y в системата от уравнения.
2. Решете и двете уравнения за y. Дръжте двете уравнения отделни и използвайте алгебра, за да преобразувате всяко уравнение във формата "y = __x + __". Например:
   • Първото уравнение е: 2x + y = 5. Променете това на: y = -2x + 5.
   • Второто уравнение е: -3x + 6y = 0. Променете това на 6y = 3x + 0и опростете до y = ½x + 0.
   • И двете уравнения са идентични, тогава цялата линия се превръща в „точка на пресичане“. Пишете: безкрайни решения.
3. Начертайте координатна система. Начертайте вертикална „ос y“ и хоризонтална „ос x“ на лист милиметрова хартия. Започнете от точката, където линиите се пресичат, и маркирайте числата 1, 2, 3, 4 и т.н. нагоре по оста y и отново надясно по оста x. Обозначете числата -1, -2 и т.н. по оста y надолу и вляво по оста x.
   • Ако нямате милиметрова хартия, използвайте линийка, за да сте сигурни, че числата са равномерно разположени.
   • Ако използвате големи числа или десетични знаци, може да се наложи да увеличите диаграмата. (Например 10, 20, 30 или 0,1, 0,2, 0,3 вместо 1, 2, 3).
4. Начертайте у пресечната точка за всяка линия. След като имате уравнение във формата y = __x + __ можете да започнете да го изобразявате, като зададете точка, където линията пресича оста y. Това винаги е при y стойност, равна на последното число в това уравнение.
   • В споменатите по-горе примери един ред (y = -2x + 5) в оста y 5. Другият ред (y = ½x + 0) преминава през нулевата точка 0. (Това са точки (0,5) и (0,0) в графиката).
   • Посочете всеки от редовете с различен цвят, ако е възможно.
5. Използвайте наклона, за да продължите да рисувате линиите. Във формата y = __x + __, е числото за x-то наклон извън линия. Всеки път, когато x се увеличи с един, стойността на y ще се увеличава със стойността на наклона. Използвайте тази информация, за да намерите точката на графиката за всеки ред, когато x = 1. (Алтернативно, заменете x = 1 за всяко уравнение и решете за y).
   • В нашия пример линията има y = -2x + 5 наклон от -2. При x = 1 ред 2 се спуска надолу надолу от точката x = 0. Начертайте отсечката на линията между (0,5) и (1,3).
   • Правилото y = ½x + 0има наклон от ½. При x = 1 линията отива ½ нагоре от точката x = 0. Начертайте отсечката между (0,0) и (1, ½).
   • Когато линиите имат същия наклон линиите никога няма да се пресичат, така че няма решение за системата от уравнения. Пишете: няма решение.
6. Продължете да начертавате линиите, докато те се пресичат. Спрете и погледнете вашата диаграма. Ако линиите вече са се пресичали, преминете към следващата стъпка. В противен случай вземате решение въз основа на това, което правят линиите:
   • Докато линиите се движат една към друга, продължавате да рисувате точки в тази посока.
   • Ако линиите се отдалечават една от друга, върнете се назад и нарисувайте точки в другата посока, започвайки от x = -1.
   • Ако линиите не са никъде близо една до друга, скочете напред и начертайте по-далечни точки, като x = 10.
7. Намерете отговора в пресечната точка на линиите. След като двете линии се пресекат, стойностите x и y в тази точка са решението на проблема. Ако имате късмет, отговорът ще бъде цяло число. Например в нашите примери двете линии се пресичат (2,1) такъв е и вашият отговор x = 2 и y = 1. В някои системи за уравнения линиите ще се пресичат на стойност между две цели числа и ако вашата графика не е изключително точна, ще бъде трудно да се каже къде е това. Ако случаят е такъв, можете да дадете отговор като: "x е между 1 и 2". Можете също да използвате метода на заместване или метод на елиминиране, за да намерите точния отговор.

Съвети

• Можете да проверите работата си, като въведете отговорите обратно в първоначалните уравнения. Ако уравненията са верни (например 3 = 3), тогава отговорът ви е верен.
• При метода на елиминиране понякога трябва да умножите уравнение по отрицателно число, за да премахнете променлива.

Предупреждения

• Тези методи не могат да се използват, ако имате работа с число на степен, например x. За да научите повече за уравнения от този тип, ще ви е необходимо ръководство за квадратиране на фактори с две променливи.