Съдържание

• Стъпки
• Част 1 от 2: Ъгли в радиани
• Част 2 от 2: x-y координати (косинус, синус)
• Съвети

Единичната окръжност се използва не само в тригонометрията и геометрията, но и в други клонове на математиката. На пръв поглед запомнянето на всички особени точки по него е доста трудно, но ако разбирате основния принцип, можете лесно да използвате единичния кръг.

Стъпки

Част 1 от 2: Ъгли в радиани

1. 1 Начертайте две перпендикулярни линии. Вземете голям лист хартия и линийка и начертайте вертикални и хоризонтални линии. Пресечната точка на тези линии трябва да лежи приблизително в центъра на листа. Това ще бъдат осите х и y.
2. 2 Начертайте кръг. Вземете компас, поставете иглата му в пресечната точка на линиите и нарисувайте голям кръг.
3. 3 Запознайте се с концепцията за радиан. Radian е мерната единица за ъгли. По дефиниция ъгъл от един радиан се отрязва по обиколката на уреда радиус дъга с единична дължина. В целия този раздел точките ще се означават със съответните им стойности в радиани. Ако си спомняте връзката между обиколката на окръжност и нейния радиус, можете лесно да определите тези стойности по единичната окръжност, дори ако сте ги забравили.
   • При измерване на ъгли по единичната окръжност точката с координати (0; 1) винаги се приема за начална точка. За по -голяма яснота можете да си представите единичния кръг под формата на роза на вятъра, тогава референтната точка ще съответства на посоката на изток.
4. 4 Не забравяйте, че общата дължина на единичната окръжност е 2π. Обиколката е 2πr, където r - радиусът му. Тъй като радиусът на единичната окръжност е 1, дължината й е 2π. От тук можете да намерите стойността в радиани за всяка точка на окръжността: просто вземете 2π и разделете на частта от окръжността, която съответства на тази точка. Това е много по -лесно, отколкото да се опитвате да научите стойностите във всяка точка от единичния кръг.
5. 5 Маркирайте четири точки по осите х и y. Тези точки ще разделят кръга на четири квадранта (четвъртинки):
   • "изток" е референтната точка, така че съответства на 0 радиани;
   • "север" = ¼ кръг = /₄ = /₂ радиани;
   • "запад" = половин кръг = /₂ = π радиани;
   • "юг" = три четвърти от окръжност = 2π * ¾ = /₂ радиани;
   • след като преминем целия кръг, се връщаме към началната точка, така че заедно с 0 може да му се присвои стойността 2π.
6. 6 Разделете кръга на осем части. Начертайте прави линии по средата на всеки квадрант, така че да ги разполовят. За точките на пресичане на линии с окръжност получаваме следните стойности в радиани:
   • /₄;
   • /₄;
   • /₄;
   • /₄;
   • (точки π / 2, π, 3π / 2 и 2π вече са маркирани).
7. 7 Разделете кръга на шест части. Начертайте допълнителни линии, които разделят кръга на шест части. Можете да използвате транспортир за това: започнете от положителната посока на оста х и оставете ъглите от 60 градуса. Използвайки описания по -горе метод, е лесно да се определи, че шестата част от кръга е /₆ = /₃ радиани. Сега можем да отбележим пресечните точки на новите линии с окръжността (по една във всеки квадрант):
   • /₃;
   • /₃;
   • /₃;
   • /₃;
   • (стойностите на π и 2π вече са отбелязани).
8. 8 Начертайте линии, които разделят кръга на 12 части. Остава да разделим единичния кръг на 12 равни части. От тези точки само четири не бяха отбелязани по -рано:
   • /₆;
   • /₆;
   • /₆;
   • /₆.

Част 2 от 2: x-y координати (косинус, синус)

1. 1 Запознайте се с понятията синус и косинус. Единичната окръжност е чудесна за работа с правоъгълни триъгълници. Координати х точките, разположени върху окръжността, са равни на cos (θ), а координатите y съответстват на sin (θ), където θ е ъгълът.
   • Ако ви е трудно да запомните това правило, просто помнете, че в двойката (cos; sin) „синусът е на последно място“.
   • Това правило може да бъде изведено, ако вземем предвид правоъгълните триъгълници и дефиницията на тези тригонометрични функции (синусът на ъгъла е равен на съотношението на дължината на противоположността, а косинусът е съседният крак на хипотенузата).
2. 2 Запишете координатите на четирите точки на окръжността. "Единична окръжност" е окръжност, чийто радиус е равен на единица. Използвайте това, за да определите координатите х и y в четири точки на пресичане на координатните оси с окръжността. По -горе определихме тези точки за яснота като „изток“, „север“, „запад“ и „юг“, въпреки че те нямат установено име.
   • "Изток" съответства на точка с координати (1; 0).
   • "Север" съответства на точка с координати (0; 1).
   • "Запад" съответства на точка с координати (-1; 0).
   • "Юг" съответства на точка с координати (0; -1).
   • Това е същото като нормална графика, така че няма нужда да запомняте тези стойности, просто запомнете основния принцип.
3. 3 Запомнете координатите на точките в първия квадрант. Първият квадрант се намира в горния десен ъгъл на кръга, където са координатите х и y вземете положителни стойности. Това са единствените координати, които трябва да запомните:
   • точка /₆ има координати (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$);
   • точка /₄ има координати (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$);
   • точка /₃ има координати (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac {{sqrt {3}} {2}}}$);
   • имайте предвид, че числителят приема само три стойности. Ако се движите в положителна посока (отляво надясно по оста х и отдолу нагоре по оста y), числителят приема стойностите 1 → √2 → √3.
4. 4 Начертайте прави линии и определете координатите на точките на тяхното пресичане с окръжността. Ако начертаете прави хоризонтални и вертикални линии от точките на един квадрант, вторите точки на пресичане на тези линии с окръжността ще имат координати х и y със същите абсолютни стойности, но различни знаци. С други думи, можете да начертаете хоризонтални и вертикални линии от точките на първия квадрант и да подпишете пресечните точки с окръжността със същите координати, но в същото време да оставите място за правилния знак ("+" или "- ") наляво.
   • Например, можете да начертаете хоризонтална линия между точките /₃ и /₃... Тъй като първата точка има координати (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac {{sqrt {3}} {2}}}$), координатите на втората точка ще бъдат (?${ displaystyle { frac {1} {2}} ,? { frac {{sqrt {3}} {2}}}$), където се поставя въпросителен знак вместо знака "+" или "-".
   • Използвайте най -простия метод: отбележете знаменателите на координатите на точката в радиани. Всички точки със знаменател 3 имат еднакви абсолютни координатни стойности. Същото важи и за точки с знаменатели 4 и 6.
5. 5 Използвайте правилата за симетрия, за да определите знака на координатите. Има няколко начина да определите къде да поставите знака "-":
   • запомнете основните правила за обикновените диаграми. Ос х отрицателен отляво и положителен отдясно. Ос y отрицателен отдолу и положителен отгоре;
   • започнете в първия квадрант и начертайте линии към други точки. Ако линията пресича оста y, координирайте х ще промени знака си. Ако линията пресича оста х, знакът на координатата ще се промени y;
   • не забравяйте, че в първия квадрант всички функции са положителни, във втория квадрант само синусът е положителен, в третия квадрант само тангенсът е положителен, а в четвъртия квадрант само косинусът е положителен;
   • който и метод да използвате, първият квадрант трябва да бъде ( +, +), вторият ( -, +), третият ( -, -) и четвъртият ( +, -).
6. 6 Проверете дали грешите. По -долу е пълен списък с координати на "специални" точки (с изключение на четири точки по координатните оси), ако се движите по единичната окръжност обратно на часовниковата стрелка. Не забравяйте, че за да се определят всички тези стойности, е достатъчно да се запомнят координатите на точките само в първия квадрант:
   • първи квадрант: (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac {1} {2}}, { frac { sqrt {3}} {2}}}$);
   • втори квадрант: (${ displaystyle - { frac {1} {2}}, { frac {{sqrt {3}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, { frac { sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, { frac {1} {2}}}$);
   • трети квадрант: (${ displaystyle - { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac {{sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle - { frac {1} {2}}, - { frac {{sqrt {3}} {2}}}$);
   • четвърти квадрант: (${ displaystyle { frac {1} {2}}, - { frac {{sqrt {3}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {2}} {2}}, - { frac {{sqrt {2}} {2}}}$); (${ displaystyle { frac { sqrt {3}} {2}}, - { frac {1} {2}}}$).

Съвети

• Ако трябва да използвате единичния кръг за тест или изпит, нарисувайте го на чернова.
• С известна практика би трябвало да можете бързо да нарисувате единичен кръг. С течение на времето ще можете да рисувате само оси х и y или дори без диаграма.