Съдържание

• Стъпки
• Част 1 от 4: Как да напиша уравнение
• Част 2 от 4: Как да напиша алгоритъма на Евклид
• Част 3 от 4: Как да намерим решение с помощта на алгоритъма на Евклид
• Част 4 от 4: Намерете безкрайни други решения

За да решите линейно диофантово уравнение, трябва да намерите стойностите на променливите "x" и "y", които са цели числа. Целочисленото решение е по -сложно от обикновено и изисква специфичен набор от действия. Първо трябва да изчислите най -големия общ делител (GCD) на коефициентите и след това да намерите решение. След като намерите едно цяло число решение на линейно уравнение, можете да използвате прост модел, за да намерите безкраен брой други решения.

Стъпки

Част 1 от 4: Как да напиша уравнение

1. 1 Запишете уравнението в стандартен вид. Линейното уравнение е уравнение, при което показателите на променливите не надвишават 1. За да разрешите такова линейно уравнение, първо го напишете в стандартна форма. Стандартната форма на линейно уравнение изглежда така: ${ displaystyle Axe + By = C}$, където ${ displaystyle A, B}$ и ${ displaystyle C}$ - цели числа.
   • Ако уравнението е дадено в различна форма, приведете го в стандартен вид, като използвате основни алгебрични операции. Например, като се има предвид уравнението ${ displaystyle 23x + 4y -7x = -3y + 15}$... Дайте подобни термини и напишете уравнението така: ${ displaystyle 16x + 7y = 15}$.
2. 2 Опростете уравнението (ако е възможно). Когато пишете уравнението в стандартен вид, погледнете коефициентите ${ displaystyle A, B}$ и ${ displaystyle C}$... Ако тези коефициенти имат GCD, разделете и трите коефициента по него. Решението на такова опростено уравнение ще бъде и решението на първоначалното уравнение.
   • Например, ако и трите коефициента са четни, разделете ги на поне 2. Например:
     • ${ displaystyle 42x + 36y = 48}$ (всички членове се делят на 2)
     • ${ displaystyle 21x + 18y = 24}$ (сега всички членове се делят на 3)
     • ${ displaystyle 7x + 6y = 8}$ (това уравнение вече не може да бъде опростено)
3. 3 Проверете дали уравнението може да бъде решено. В някои случаи можете веднага да заявите, че уравнението няма решения. Ако коефициентът "C" не се дели на GCD на коефициентите "A" и "B", уравнението няма решения.
   • Например, ако и двата коефициента ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$ са четни, тогава коефициентът ${ displaystyle C}$ трябва да е равномерно. Но ако ${ displaystyle C}$ странно, тогава няма решение.
     • Уравнението ${ displaystyle 2x + 4y = 21}$ няма цялостно решение.
     • Уравнението ${ displaystyle 5x + 10y = 17}$ няма целочислени решения, тъй като лявата страна на уравнението се дели на 5, а дясната не.

Част 2 от 4: Как да напиша алгоритъма на Евклид

1. 1 Разберете алгоритъма на Евклид. Това е поредица от повтарящи се деления, в които предишният остатък се използва като следващ делител. Последният делител, който разделя числата интегрално, е най -големият общ делител (GCD) на двете числа.
   • Например, нека намерим GCD на числа 272 и 36, използвайки алгоритъма на Евклид:
     • ${ displaystyle 272 = 7 * 36 + 20}$ - Разделете по -голямото число (272) на по -малкото (36) и обърнете внимание на остатъка (20);
     • ${ displaystyle 36 = 1 * 20 + 16}$ - разделете предишния делител (36) на предишния остатък (20). Обърнете внимание на новия остатък (16);
     • ${ displaystyle 20 = 1 * 16 + 4}$ - разделете предишния делител (20) на предишния остатък (16). Обърнете внимание на новия остатък (4);
     • ${ displaystyle 16 = 4 * 4 + 0}$ - Разделете предишния делител (16) на предишния остатък (4). Тъй като остатъкът е 0, можем да кажем, че 4 е GCD на първоначалните две числа 272 и 36.
2. 2 Приложете алгоритъма на Евклид към коефициентите "А" и "В". Когато пишете линейното уравнение в стандартен вид, определете коефициентите "A" и "B" и след това приложете алгоритъма на Евклид към тях, за да намерите GCD. Например, като се има предвид линейно уравнение ${ displaystyle 87x-64y = 3}$.
   • Ето алгоритъма на Евклид за коефициенти A = 87 и B = 64:
     • ${ displaystyle 87 = 1 * 64 + 23}$
     • ${ displaystyle 64 = 2 * 23 + 18}$
     • ${ displaystyle 23 = 1 * 18 + 5}$
     • ${ displaystyle 18 = 3 * 5 + 3}$
     • ${ displaystyle 5 = 1 * 3 + 2}$
     • ${ displaystyle 3 = 1 * 2 + 1}$
     • ${ displaystyle 2 = 2 * 1 + 0}$
3. 3 Намерете най -големия общ фактор (GCD). Тъй като последният делител е 1, GCD 87 и 64 са 1. Така 87 и 64 са прости числа един спрямо друг.
4. 4 Анализирайте резултата. Когато намерите gcd коефициентите ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$, сравнете го с коефициента ${ displaystyle C}$ оригиналното уравнение. Ако ${ displaystyle C}$ делим на gcd ${ displaystyle A}$ и ${ displaystyle B}$, уравнението има цяло число решение; в противен случай уравнението няма решения.
   • Например уравнението ${ displaystyle 87x-64y = 3}$ може да се реши, защото 3 е делим на 1 (gcd = 1).
   • Да предположим например GCD = 5. 3 не се дели равномерно на 5, така че това уравнение няма цялостно решение.
   • Както е показано по -долу, ако едно уравнение има едно цяло число, то има и безкраен брой други цялостни решения.

Част 3 от 4: Как да намерим решение с помощта на алгоритъма на Евклид

1. 1 Номерирайте стъпките за изчисляване на GCD. За да намерите решението на линейно уравнение, трябва да използвате евклидовия алгоритъм като основа за процеса на заместване и опростяване.
   • Започнете с номериране на стъпките за изчисляване на GCD. Процесът на изчисление изглежда така:
     • ${ displaystyle { text {Стъпка 1}}: 87 = (1 * 64) +23}$
     • ${ displaystyle { text {Стъпка 2}}: 64 = (2 * 23) +18}$
     • ${ displaystyle { text {Стъпка 3}}: 23 = (1 * 18) +5}$
     • ${ displaystyle { text {Стъпка 4}}: 18 = (3 * 5) +3}$
     • ${ displaystyle { text {Стъпка 5}}: 5 = (1 * 3) +2}$
     • ${ displaystyle { text {Стъпка 6}}: 3 = (1 * 2) +1}$
     • ${ displaystyle { text {Стъпка 7}}: 2 = (2 * 1) +0}$
2. 2 Обърнете внимание на последната стъпка, където има остатък. Препишете уравнението за тази стъпка, за да изолирате остатъка.
   • В нашия пример последната стъпка с остатък е стъпка 6. Остатъкът е 1. Препишете уравнението в стъпка 6, както следва:
     • ${ displaystyle 1 = 3- (1 * 2)}$
3. 3 Изолирайте останалата част от предишната стъпка. Този процес е стъпка по стъпка „придвижване нагоре“. Всеки път, когато изолирате остатъка от уравнението в предишната стъпка.
   • Изолирайте остатъка от уравнението в Стъпка 5:
     • ${ displaystyle 2 = 5- (1 * 3)}$ или ${ displaystyle 2 = 5-3}$
4. 4 Заменете и опростете. Забележете, че уравнението в стъпка 6 съдържа числото 2, а в уравнението в стъпка 5 числото 2 е изолирано. Така че вместо „2“ в уравнението в стъпка 6, заменете израза в стъпка 5:
   • ${ displaystyle 1 = 3-2}$ (уравнение от стъпка 6)
   • ${ displaystyle 1 = 3- (5-3)}$ (вместо 2, беше заменен израз)
   • ${ displaystyle 1 = 3-5 + 3}$ (отворени скоби)
   • ${ displaystyle 1 = 2 (3) -5}$ (опростено)
5. 5 Повторете процеса на заместване и опростяване. Повторете описания процес, преминавайки през евклидовия алгоритъм в обратен ред. Всеки път ще пренаписвате уравнението от предишната стъпка и ще го включвате в последното уравнение, което получавате.
   • Последната стъпка, която разгледахме, беше стъпка 5. Така че преминете към стъпка 4 и изолирайте остатъка от уравнението за тази стъпка:
     • ${ displaystyle 3 = 18- (3 * 5)}$
   • Заменете този израз с "3" в последното уравнение:
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18-3 * 5) -5}$
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -6 (5) -5}$
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
6. 6 Продължете с процеса на заместване и опростяване. Този процес ще се повтаря, докато достигнете началната стъпка на евклидовия алгоритъм. Целта на процеса е да се напише уравнението с коефициентите 87 и 64 на първоначалното уравнение, което трябва да се реши. В нашия пример:
   • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (5)}$
   • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23-18)}$ (замести израза от стъпка 3)
     • ${ displaystyle 1 = 2 (18) -7 (23) +7 (18)}$
     • ${ displaystyle 1 = 9 (18) -7 (23)}$
   • ${ displaystyle 1 = 9 (64-2 * 23) -7 (23)}$ (замести израза от стъпка 2)
     • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -18 (23) -7 (23)}$
     • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (23)}$
   • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87-64)}$ (замести израза от стъпка 1)
     • ${ displaystyle 1 = 9 (64) -25 (87) +25 (64)}$
     • ${ displaystyle 1 = 34 (64) -25 (87)}$
7. 7 Препишете полученото уравнение в съответствие с първоначалните коефициенти. Когато се върнете към първата стъпка на евклидовия алгоритъм, ще видите, че полученото уравнение съдържа два коефициента на първоначалното уравнение. Препишете уравнението така, че редът на неговите членове да съвпада с коефициентите на първоначалното уравнение.
   • В нашия пример първоначалното уравнение ${ displaystyle 87x-64y = 3}$... Затова препишете полученото уравнение, така че коефициентите да бъдат приведени в съответствие.Обърнете специално внимание на коефициента "64". В първоначалното уравнение този коефициент е отрицателен, а в евклидовия алгоритъм е положителен. Следователно фактор 34 трябва да се направи отрицателен. Крайното уравнение ще бъде написано така:
     • ${ displaystyle 87 (-25) -64 (-34) = 1}$
8. 8 Приложете подходящия множител, за да намерите решение. Обърнете внимание, че в нашия пример GCD = 1, така че крайното уравнение е 1. Но първоначалното уравнение (87x-64y) е 3. Следователно всички членове в крайното уравнение трябва да се умножат по 3, за да се получи решението:
   • ${ displaystyle 87 (-25 * 3) -64 (-34 * 3) = 1 * 3}$
   • ${ displaystyle 87 (-75) -64 (-102) = 3}$
9. 9 Запишете цялостно решение на уравнението. Числата, умножени по коефициентите на първоначалното уравнение, са решенията на това уравнение.
   • В нашия пример запишете решението като двойка координати: ${ displaystyle (x, y) = ( - 75, -102)}$.

Част 4 от 4: Намерете безкрайни други решения

1. 1 Разберете, че има безкраен брой решения. Ако едно линейно уравнение има едно цяло число, то то трябва да има безкрайно много цялостни решения. Ето едно бързо доказателство (в алгебрична форма):
   • ${ displaystyle Axe + By = C}$
   • ${ displaystyle A (x + B) + B (y-A) = C}$ (ако добавите „B“ към „x“ и извадите „A“ от „y“, стойността на първоначалното уравнение няма да се промени)
2. 2 Запишете оригиналните стойности x и y. Шаблонът за изчисляване на следващите (безкрайни) решения започва с единственото решение, което вече сте намерили.
   • В нашия пример решението е двойка координати ${ displaystyle (x, y) = ( - 75, -102)}$.
3. 3 Добавете коефициента "B" към стойността "x". Направете това, за да намерите новата стойност x.
   • В нашия пример x = -75 и B = -64:
     • ${ displaystyle x = -75 + ( - 64) = - 139}$
   • Така новата стойност "x": x = -139.
4. 4 Извадете коефициента "А" от стойността "у". За да не се промени стойността на първоначалното уравнение, при добавяне на едно число към "x" трябва да извадите друго число от "y".
   • В нашия пример y = -102 и A = 87:
     • ${ displaystyle y = -102-87 = -189}$
   • По този начин новата стойност за "y": y = -189.
   • Новата двойка координати ще бъде написана така: ${ displaystyle (x, y) = ( - 139, -189)}$.
5. 5 Проверете решението. За да проверите дали новата двойка координати е решение на първоначалното уравнение, включете стойностите в уравнението.
   • ${ displaystyle 87x-64y = 3}$
   • ${ displaystyle 87 (-139) -64 (-189) = 3}$
   • ${ displaystyle 3 = 3}$
   • Тъй като равенството е спазено, решението е правилно.
6. 6 Запишете изрази, за да намерите много решения. Стойностите "x" ще бъдат равни на първоначалното решение плюс всяко кратно на "B" коефициента. Това може да бъде написано като следния израз:
   • x (k) = x + k (B), където „x (k)“ е набор от стойности „x“, а „x“ е първоначалната (първа) стойност на „x“, която сте намерили.
     • В нашия пример:
     • ${ displaystyle x (k) = - 75-64k}$
   • y (k) = y-k (A), където y (k) е множеството от y стойности и y е оригиналната (първа) y стойност, която сте намерили.
     • В нашия пример:
     • ${ displaystyle y (k) = - 102-87k}$