Намерете обратната на матрицата 3x3 - Съвети

Видео: Обратная матрица (2 способа нахождения)

Съдържание

Стъпки
Съвети
Внимание

Инверсията често се използва в смятане, за да опрости проблемните проблеми по други начини. Например, по-лесно е да се умножи с обратната на дроб, отколкото директно да се раздели с това число. Това е обратното. По същия начин, тъй като за матрицата няма знаци за дроби, ще трябва да умножите нейната обратна матрица. Изчисляването на обратната матрица на матрица 3x3 може да бъде много досадно, но това е проблем, който си струва да се разгледа. Можете също да използвате усъвършенстван графичен калкулатор, за да направите това.

Стъпки

Метод 1 от 3: Създайте допълнителна матрица, за да намерите обратната матрица

Проверете детерминанта на матрицата. Първата стъпка: намерете детерминанта на матрицата. Ако детерминантата е 0, това е направено: тази матрица не е обратима. Детерминантата на матрица M може да бъде означена като det (M).
- За да намерите обратната на матрица 3x3, първо трябва да изчислите нейния детерминант.
- За да прегледате как да намерите детерминанта на матрица, вижте статията Намиране на детерминанти на матрица 3x3.
Транспониране на оригиналната матрица. Транспонирането означава отразяване на матрицата през главния диагонал или с други думи, размяна на th елемент (i, j) и елемент (j, i). Когато се транспонират елементи на матрица, основният диагонал (преминаващ от горния ляв ъгъл до долния десен ъгъл) остава постоянен.
- Друг начин да разберете транспонирането е, че ще пренапишете матрицата така, че първият ред да стане първата колона, средният ред да стане средната колона, а третият ред да стане третата колона. Забележете цветните елементи на илюстрацията по-горе и забележете новата позиция на числата.
Намерете детерминантата на всяка 2х2 подматрица. Всички елементи на новата матрица за преместване 3x3 са свързани със съответната матрица 2x2 'sub'. За да намерите подматрицата на всеки елемент, първо маркирайте реда и колоната на първия елемент. Всички 5 елемента ще бъдат подчертани. Останалите четири елемента формират подматрицата.
- В горния пример, ако искате да намерите подматрицата на елемента в ред втори, колона първа, маркирате пет части от думи във втория ред и първата колона. Останалите четири елемента са съответната подматрица.
- Намерете детерминантата на всяка подматрица, като умножавате по диагонал и изваждате два продукта един от друг, както е показано на фигурата по-горе.
- Прочетете повече, за да научите повече за подматриците и тяхното използване.
Създайте матрица от алгебрични подраздели. Поставете резултата, получен от предишната стъпка, в нова матрица, съставена от алгебрични подраздели, като поставите всяка детерминанта на подматрица в съответната позиция в оригиналната матрица. По този начин детерминантата, изчислена от елемента (1,1) на оригиналната матрица, ще бъде поставена на позиция (1,1). След това ще трябва да промените знака за замяна на тази нова матрица според референтната таблица, показана на илюстрацията по-горе.
- При определяне на знака се запазва марката на първата молекула на водещата. Знакът на втория елемент е обърнат. Знакът на третия елемент е запазен. Продължете така за останалата част от матрицата. Имайте предвид, че знакът (+) или (-) в референтната диаграма не означава, че до края елементът ще носи положителен или отрицателен знак. Те показват само, че елементите ще бъдат запазени непокътнати (+) или променени с (-).
- Обърнете се към основите на матрицата за повече информация за алгебричните придатъци.
- Крайният резултат, който получаваме в тази стъпка, е допълващата матрица на оригиналната матрица. Понякога се нарича още конюгирана матрица и се означава Adj (M).
Разделете всички елементи на матрицата на комплемента с детерминанта. Използвайте детерминанта на матрицата M, която сте изчислили в първата стъпка (за да проверите дали матрицата е обратима). Сега разделете всеки елемент от матрицата на тази стойност. Поставете коефициента на всяко разделение в позицията на оригиналния елемент и получаваме обратната матрица на оригиналната матрица.
- Примерната матрица, представена на илюстрацията, има детерминанта 1. Следователно, когато разделяме всеки елемент от допълващата матрица на детерминанта, ние се получаваме (не винаги ще имате такъв късмет). .
- Вместо да се дели, някои документи демонстрират тази стъпка като умножаване на всеки елемент от M по 1 / det (M). Математически те са еквивалентни.
реклама

Метод 2 от 3: Намалете линейния ред, за да намерите обратната матрица

Добавете единичната матрица към оригиналната матрица. Напишете основната матрица M, нарисувайте вертикална линия вдясно от тази матрица и след това напишете единичната матрица вдясно от тази линия. В този момент имаме матрица с три реда и шест колони.
- Не забравяйте, че матрицата за идентичност е специална матрица с всички елементи на основния диагонал, минаваща от горния ляв ъгъл до долния десен ъгъл, равна на 1, и всички елементи в останалите позиции, равни на нула.
Извършете линейно редуциране на редове. Целта тук е да се създаде единична матрица в лявата част на новоразширената матрица. Когато изпълнявате стъпките за намаляване на редовете отляво, трябва да направите съответната част отдясно - частта, която е матрицата на вашата единица.
- Не забравяйте, че редуцирането на редове се извършва като комбинация от скалярно умножение и добавяне или изваждане на редове, за да се изолират отделни елементи от матрицата.
Продължете, докато се формира единичната матрица. Продължете линейното намаляване, докато се появи матрицата за идентичност (елементите по диагонала са равни на 1, другите елементи са равни на 0) в лявата част на разширената матрица. След като се достигне тази стъпка, дясната част на вертикалния разделител е обратната матрица на оригиналната матрица.
Пренапишете обратната матрица. Дублирайте елементите в момента в дясната част на вертикалния разделител и това е вашата обратна матрица. реклама

Метод 3 от 3: Намерете обратната матрица с джобен калкулатор

Изберете калкулатор, който може да решава матрици. Един прост калкулатор с четири функции няма да може да намери обратната матрица директно за вас. Въпреки това, поради математическото повторение, усъвършенстваният графичен калкулатор, като Texas Instruments TI-83 или TI-86, може значително да намали вашата работа.
Въведете матрицата в калкулатора. Първо, въведете функцията Matrix на вашия калкулатор, като натиснете клавиша Matrix, ако тя е налична на вашето устройство. С машината Texas Instruments ще трябва да натиснете 2 Matrix.
Изберете подменюто Редактиране. За достъп до това подменю може да се наложи да използвате бутоните със стрелки или да изберете подходящите функционални клавиши, разположени в горния ред на клавиатурата на компютъра, в зависимост от неговия дизайн.
Изберете име за вашата матрица. Повечето джобни калкулатори са оборудвани за работа с 3 до 10 матрици, наречени букви, от A до J. Обикновено, нека започнем с. Натиснете клавиша Enter, за да потвърдите избора на име.
Въведете размера на матрицата. Тази статия се фокусира върху матрици 3x3. Въпреки това джобните калкулатори могат да се справят с по-големи матрици. Въведете броя на редовете, натиснете Enter, след това въведете номера на колоната и натиснете Enter.
Въведете всеки елемент от матрицата. На екрана на компютъра ще се покаже матрица. Ако преди сте работили с матричната функция, матрицата, с която сте работили преди, ще се появи на екрана. Курсорът ще маркира първия елемент от матрицата. Въведете стойността на матрицата, която искате да разрешите, и натиснете Enter. Курсорът автоматично ще се премести към следващия елемент, като презапише всички предишни стойности.
- Ако искате да въведете отрицателни числа, използвайте отрицателния бутон (-) на вашия калкулатор, а не клавиша минус. Матричната функция няма да се чете правилно.
- Ако е необходимо, можете да използвате клавишите със стрелки на вашия калкулатор, за да се придвижвате през матрицата.
Излезте от матричната функция. След като въведете цялата стойност на матрицата, натиснете клавиша Quit - Exit (или 2 Quit, ако е необходимо). Благодарение на това излизате от функцията Matrix и се връщате на основния екран на калкулатора.
Използвайте обратния бутон, за да намерите обратната матрица. Първо, отворете отново функцията Matrix и използвайте бутона Names, за да изберете името на матрицата, което сте използвали, за да дадете на вашата матрица (може да е). След това натиснете обратния бутон на калкулатора ,. В зависимост от вашето устройство може да се наложи да използвате бутон 2. Появява се екранът на дисплея. Натиснете Enter и обратната матрица ще се появи на вашия екран.
- Не използвайте бутона ^ на компютъра си, когато се опитвате да въведете A ^ -1 с отделни щраквания. Компютрите няма да разберат тази математика.
- Ако получите съобщение за грешка, когато натиснете клавиша за обратно, по-вероятно е родителската ви матрица да не е обратима. Може би трябва да се върнете назад и да бъдете качествени, за да определите дали това е причината за грешката.
Преобразувайте обратната матрица в правилния отговор. Първият резултат, върнат от компютъра, се показва в десетична запетая. Това не е непременно „правилният“ отговор за повечето цели. Трябва да преобразувате този десетичен отговор в дроб, ако е необходимо (ако имате достатъчно късмет, всичките ви резултати са цели числа. Това обаче е много рядко).
- Може би вашият калкулатор има функция, която автоматично преобразува десетични знаци във фракции. Например, когато използвате TI-86, можете да отидете на математическа функция, да изберете Misc, след това Frac и да натиснете Enter. Десетичните знаци автоматично ще бъдат представени като фракции.
Повечето графични калкулатори имат квадратни скоби (за TI-84, т.е. 2-ри + x и 2-ри + -), които ви позволяват да въведете матрица, без да използвате матричната функция. Забележка: Калкулаторът може да не форматира матрица, докато не се използва клавишът enter / jednak (което означава, че всичко ще бъде на същия ред и не е много хубаво). реклама

Съвети

Можете да следвате тези стъпки, за да намерите обратната страна на матрица, която не само съдържа числа, но и променливи, неизвестни или дори алгебрични изрази.
Запишете всички стъпки, защото намирането на обратната на матрица 3x3 само чрез математика е изключително трудно.
Има програми за калкулатори, които ви помагат да намерите обратни матрици, включително матрици до 30x30 включително.
Независимо от използвания метод, проверете точността на резултата, като умножите M по M. Ще потвърдите, че M * M = M * M = I. Къде, I е единичната матрица , се състои от 1 елемента, разположени по главния диагонал и нули другаде. Ако не получите такива резултати, трябва да сте сгрешили някъде.