Съдържание

• Стъпвам
• Метод 1 от 2: Метод първи: Кръстосано умножение
• Метод 2 от 2: Метод втори: Намиране на най-малкото общо кратно (LCM) на знаменателите
• Съвети

Рационалната функция е дроб с една или повече променливи в числителя или знаменателя. Рационално уравнение е всяко уравнение, което съдържа поне един рационален израз. Подобно на общите алгебрични уравнения, рационалните изрази могат да бъдат решени чрез прилагане на една и съща операция към двете страни на уравнението, докато променливата не бъде изолирана от едната страна на знака на равенството. Два специални метода, кръстосаното умножение и намирането на най-малкото общо кратно на знаменателите, са особено полезни за изолиране на променливи и решаване на рационални уравнения.

Стъпвам

Метод 1 от 2: Метод първи: Кръстосано умножение

1. Ако е необходимо, пренаредете уравнението, за да се уверите, че има дроб от двете страни на знака за равенство. Кръстосаното умножение е бърз метод за решаване на рационални уравнения. За съжаление този метод работи само за рационални уравнения, които имат точно един рационален израз или дроб от двете страни на знака на равенството. Ако това не е така за вашето уравнение, тогава вероятно се нуждаете от някои алгебрични операции, за да получите членовете на правилното място.
   • Например уравнението (x + 3) / 4 - x / (- 2) = 0 може лесно да бъде преобразувано в правилната форма за кръстосано умножение, като се добави x / (- 2) от двете страни на уравнението, което го прави резултат изглежда така: (x + 3) / 4 = x / (- 2).
     • Не забравяйте, че десетични и цели числа могат да бъдат преобразувани във фракции, като им дадете знаменател 1. (x + 3) / 4 - 2.5 = 5, например, може да бъде пренаписано като (x + 3) / 4 = 7.5 / 1, което позволява да се приложи кръстосано умножение.
   • Някои рационални уравнения не могат да бъдат преобразувани в правилната форма толкова лесно. В тези случаи използвайте методите, където използвате най-малкото общо кратно на знаменателите.
2. Кръстосано умножение. Кръстосаното умножение означава просто умножаване на числителя на едната фракция по знаменателя на другата и обратно. Умножете числителя на фракцията вляво от знака за равенство по фракцията вдясно. Повторете с числителя отдясно и знаменателя на фракцията отляво.
   • Кръстосаното умножение работи според общите алгебрични принципи. Рационалните изрази и други дроби могат да бъдат преобразувани в редовни числа чрез умножаване на знаменателите. По принцип кръстосаното умножение е удобен стенографичен начин за умножаване на двете страни на уравнението по двата знаменателя на дроби. Не вярвате ли? Опитайте - ще видите същите резултати след опростяване.
3. Направете двата продукта еднакви помежду си. След кръстосаното умножение ви остават два продукта. Направете тези два члена равни и ги опростете, за да получите най-простите членове от двете страни на уравнението.
   • Например, ако (x + 3) / 4 = x / (- 2) е бил вашият първоначален рационален израз, тогава след кръстосаното умножение той става равен на -2 (x + 3) = 4x. По желание това може да бъде пренаписано като -2x - 6 = 4x.
4. Решете за променливата. Използвайте алгебрични операции, за да намерите стойността на променливата в уравнението. Не забравяйте, че ако x се появява от двете страни на знака за равенство, след като добавите или извадите x член, уверете се, че има само x членове от едната страна на знака за равенство.
   • В нашия пример е възможно да разделим двете страни на уравнението на -2, което ни дава x + 3 = -2x. Изваждането на x от двете страни на знака за равенство ни дава 3 = -3x. И накрая, разделяйки двете страни на -3, получаваме -1 = x, или също x = -1. Сега намерихме x, което решава нашето рационално уравнение.

Метод 2 от 2: Метод втори: Намиране на най-малкото общо кратно (LCM) на знаменателите

1. Разберете, когато намирането на най-малкото общо кратно на знаменателите е очевидно. Най-малкото общо кратно (LCM) на знаменателите може да се използва за опростяване на рационални уравнения, което прави възможно намирането на стойностите на техните променливи. Намирането на LCM е добра идея, ако рационалното уравнение не може лесно да бъде пренаписано във форма, при която има само една дроб или рационален израз от всяка страна на знака за равенство. За решаване на рационални уравнения с три члена или повече, LCM са полезен инструмент. Но за решаване на рационални уравнения само с два члена кръстосаното умножение често е по-бързо.
2. Разгледайте знаменателя на всяка дроб. Намерете най-малкото число, което е напълно делимо на произволен знаменател. Това е LCM на вашето уравнение.
   • Понякога най-рядко срещаното кратно - най-малкото число, което е напълно делимо на всеки от знаменателите - се вижда веднага. Например, ако изразът ви изглежда като x / 3 + 1/2 = (3x + 1) / 6, тогава е лесно да се види, че LCM трябва да се дели на 3, 2 и 6 и по този начин да е равен на 6.
   • Но по-често LCM на рационалното сравнение изобщо не е ясно веднага. В тези случаи опитайте кратните на най-големия знаменател, докато намерите число, което включва кратните на другите, по-малки знаменатели. Често LCM е продукт на два знаменателя. Например, вземете уравнението x / 8 + 2/6 = (x - 3) / 9, където LCM е равно на 8 * 9 = 72.
   • Ако един или повече от знаменателите съдържа променлива, този процес ще бъде малко по-труден, но в никакъв случай не е невъзможен. В тези случаи LCM е израз (с променливи), който напълно отговаря на всички знаменатели, а не само на едно число. Като пример, уравнението 5 / (x-1) = 1 / x + 2 / (3x), където LCM се равнява на 3x (x-1), защото е напълно делимо на всеки знаменател - разделяне на (x- 1 ) дава 3x, разделянето на 3x дава (x-1), а разделянето на x дава 3 (x-1).
3. Умножете всяка дроб в рационалното уравнение по 1. Умножаването на всеки член по 1 може да изглежда безполезно, но тук има трик. А именно 1 може да се запише като дроб - напр. 2/2 и 3/3. Умножете всяка фракция във вашето рационално уравнение по 1, като всеки път пишете 1 като число или член, умножен по всеки знаменател, за да дадете LCM като дроб.
   • В нашия пример можем да умножим x / 3 по 2/2, за да получим 2x / 6 и да умножим 1/2 по 3/3, за да получим 3/6. 3x +1/6 вече има 6 (lcm) като знаменател, така че можем да го умножим по 1/1 или просто да го оставим.
   • В нашия пример с променливи в знаменателите целият процес е малко по-сложен. Тъй като LCM се равнява на 3x (x-1), умножаваме всеки рационален израз по част, която дава 3x (x-1) като знаменател. Умножаваме 5 / (x-1) по (3x) / (3x) и това дава 5 (3x) / (3x) (x-1), умножаваме 1 / x по 3 (x-1) / 3 (x -1) и това дава 3 (x-1) / 3x (x-1) и умножаваме 2 / (3x) по (x-1) / (x-1) и това накрая дава 2 (x-1) / 3x (x-1).
4. Опростете и решете за x. Сега, когато всеки член във вашето рационално уравнение има един и същ знаменател, е възможно да се премахнат знаменателите от уравнението и да се решат числителите. Просто умножете двете страни на уравнението по LCM, за да се отървете от знаменателите, така че да останете само с числителите. Сега се превърна в редовно уравнение, което можете да решите за променливата, като я изолирате от едната страна на знака за равенство.
   • В нашия пример, след умножаване, като използваме 1 като дроб, получаваме 2x / 6 + 3/6 = (3x + 1) / 6. Две фракции могат да бъдат добавени, ако имат един и същ знаменател, така че можем да напишем това уравнение като (2x + 3) / 6 = (3x + 1) / 6, без да променяме стойността му. Умножете двете страни по 6, за да отмените знаменателите, оставяйки 2x + 3 = 3x + 1. Тук извадете 1 от двете страни, за да оставите 2x + 2 = 3x и извадете 2x от двете страни, за да оставите 2 = x, което след това може да бъде записано и като x = 2.
   • В нашия пример с променливи в знаменателите, уравнението след умножаване на всеки член по "1" е равно на 5 (3x) / (3x) (x-1) = 3 (x-1) / 3x (x-1) + 2 ( x-1) / 3x (x-1). Умножаването на всеки член по LCM дава възможност да се отменят знаменателите, което сега ни дава 5 (3x) = 3 (x-1) + 2 (x-1). Допълнително разработено, това става 15x = 3x - 3 + 2x -2, което може да бъде опростено отново като 15x = x - 5. Изваждането на x от двете страни дава 14x = -5, така че окончателният отговор може да бъде опростен до x = - 5/14.

Съвети

• След като намерите стойността на променливата, проверете отговора си, като въведете тази стойност в първоначалното уравнение. Ако получите стойността на променливата вдясно, би трябвало да можете да опростите уравнението до проста, правилна теорема, като 1 = 1.
• Всяко уравнение може да бъде записано като рационален израз; просто го поставете като числител над знаменателя 1. Така уравнението x + 3 може да бъде записано като (x + 3) / 1, и двете имат една и съща стойност.